Angle inscrit

En geometria, un angle inscrit és l'angle comprès entre dues cordes (o una secant i una tangent en el cas degenerat, anomenat semi- inscrit ), que s'intersequen a la circumferència. És a dir, és l'angle definit per dues cordes que comparteixen un extrem.

Propietats

Mentre que un angle central té una amplitud $\theta$ igual a la de l'arc que abasta, la de l'angle inscrit és la meitat de la porció de circumferència en el seu interior, $\theta /2$.

Entre altres resultats, aquesta propietat permet demostrar que els angles oposats d'un quadrilàter cíclic són suplementaris, i que quan dues cordes $a$, $b$ s'intersequen a l'interior del cercle, el producte de la longitud dels seus segments és el mateix $a_{1}\cdot a_{2}=b_{1}\cdot b_{2}$.

Demostració

Per entendre la prova, és útil dibuixar un diagrama com els de les figures.

Angle inscrit on una corda és un diàmetre

Angle inscrit $\alpha$ i arc $\theta$

Siguin $o$ al centre d'un cercle, $u$ i $v$ dos punts en la circumferència, i $w$ l'altre extrem de la corda que passa per $u$ i $o$. Sigui $\theta$ l'amplitud de l'arc comprès entre les secants ${\bar {uv}}$ i ${\bar {uw}}$, i $\alpha$ el seu angle inscrit.

L'angle central $\angle wov$, també té amplitud $\theta$ i és suplementari de $\angle VOU=\beta$. Per tant $\theta +\beta =180$ °.

Com el triangle $\triangle Vatenir$ té dos costats amb longitud igual al radi (${\bar {oo}}$ i ${\bar {lectiu}}$), és isòsceles, per la qual cosa $\angle Vatenir=\alpha$. Atès que la suma dels angles interns d'un triangle és 180 °, hem de $2\alpha +\beta =180$, però $\beta =180-\theta$, de manera que $2\alpha +180-\theta =180$, o el que és equivalent, $2\alpha =\theta$.

Per tant, l'angle inscrit $\alpha$ té la meitat de l'amplitud de la porció de cercle en el seu interior $\theta$, $\alpha ={\frac {\theta }{2}}$.

Vegeu també

• Casos d'angle i cercle
• Angle interior
• Angle exterior

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «angle_inscrit» a MathWorld (en anglès).
• Münchingen on Inscriu Angles a cut-the-knot
• Arc Central Angle Arxivat 2006-10-30 a Wayback Machine. Amb animació interactiva
• Arc Peripheral (s'inscriu) Angle Amb animació interactiva
• Arc Central Angle Theorem Amb animació interactiva