Aproximació lineal

En matemàtiques, una aproximació lineal és una aproximació d'una funció qualsevol fent servir una funció lineal (de forma més precisa una funció afí).

Recta tangent a (a, f(a))

Definició

Donada una funció derivable f d'una variable real, el teorema de Taylor per a n=1 estableix que

$f(x)=f(a)+f\ '(a)(x-a)+R_{2}$

on el terme $R_{2}$ és el residu o error. L'aproximació lineal s'obté depreciant el residu:

$f(x)\approx f(a)+f\ '(a)(x-a)$

Lo qual és cert per a valors de x propers a a. L'expressió del cantó dret és precisament l'equació de la recta tangent a la gràfica de f al punt (a, f(a)), i per aquest motiu, d'aquest procés també se'n diu aproximació per la recta tangent.

Les aproximacions lineals per a funcions vectorials de variable vectorial, s'obtenen de la mateixa forma, substituint la derivada en un punt per la matriu jacobiana. Per exemple, donada una funció derivable $f(x,y)$ amb variables reals, es pot aproximar $f(x,y)$ per $(x,y)$ en punts proper a $(a,b)$ fent servir la fórmula

$f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).$

L'expressió de la dreta és l'equació del pla tangent a la gràfica de $z=f(x,y)$ al punt $(a,b).$

En el cas més general d'espais de Banach, es té

$f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)$

on $Df(a)$ és la derivada de Fréchet de $f$ a $a$.

Exemples

Per a trobar una aproximació de ${\sqrt[{3}]{25}}$ es pot fer tal com s'explica tot seguit.

1. Es planteja la funció $f(x)=x^{1/3}.\,$ Per tant, el problema consisteix a trobar el valor de $f(25)$.
2. Es té

   $f\ '(x)=1/3x^{-2/3}.$

3. D'acord amb l'aproximació lineal

   $f(25)\approx f(27)+f\ '(27)(25-27)=3-2/27.$

4. El resultat, 2,926, és força proper al valor de la funció 2,924…

Referències

• Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E.. Calculus III. Berlin: Springer-Verlag, 1984, page 775. ISBN 0-387-90985-0. 
• Strang, Gilbert. Calculus. Wellesley College, 1991, page 94. ISBN 0-9614088-2-0. 
• Bock, David; Hockett, Shirley O.. How to Prepare for the AP Calculus. Hauppauge, NY: Barrons Educational Series, 2005, page 118. ISBN 0-7641-2382-3.