Argument del periàpside

L'argument del periàpside (símbol $\omega \,$) és un dels elements orbitals utilitzats per a especificar l'òrbita d'un cos celeste. És l'angle que va des del node ascendent fins al periàpside, mesurat en el pla orbital de l'objecte i en el seu sentit de moviment. Per a òrbites equatorials, en les que no hi ha node ascendent, i per a òrbites circulars, que no tenen periastre, està indefinit. Per a objectes que orbiten el Sol, s'anomena argument del periheli i per a objectes que orbiten la Terra, argument del perigeu.

En aquest diagrama, l'argument del periheli (se suposa que el cos central és el Sol) és l'angle $\omega \,$ (en blau) que va des del node ascendent fins al periheli.

Càlcul

En mecànica celeste i astrodinàmica, l'argument del periàpside $\omega \,$ es pot calcular de la forma següent:

Imaginem un sistema de referència amb origen en el cos central i definit pels eixos $x\,$, $y\,$ i $z\,$. L'eix $z\,$ és perpendicular al pla de referència i apunta cap amunt, l'eix $x\,$ apunta en direcció al punt vernal i l'eix $y\,$ és perpendicular als dos anteriors. Prenem ara el vector $\mathbf {n}$ amb origen al cos central i que apunta en direcció al node ascendent. Les components del vector en coordenades cartesianes són $\mathbf {n} =(n_{x},n_{y},n_{z})$. Com que es troba sobre el pla de referència, la seva component $z\,$ és nul·la ($n_{z}=0\,$). Prenem també el vector $\mathbf {e}$ amb origen al cos central i que apunta en direcció al periàpside. Les components del vector en cartesianes són $\mathbf {e} =(e_{x},e_{y},e_{z})$.

Llavors, l'argument del periàpside és:

$\omega =\arccos {{\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} } \over {\mathbf {\left|n\right|} \mathbf {\left|e\right|} }}$ (si $e_{z}<0\,$)

o bé,

$\omega =2\pi -\arccos {{\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} } \over {\mathbf {\left|n\right|} \mathbf {\left|e\right|} }}$ (si $e_{z}>0\,$)

on:

• $\mathbf {n}$ és un vector que apunta cap al node ascendent (és a dir, la component z de $\mathbf {n}$ és zero),
• $\mathbf {e}$ és el vector d'excentricitat (un vector que apunta cap al perigeu).

En el cas d'òrbites equatorials (és a dir, òrbites amb inclinació igual a zero), tot i que estrictament $\omega \,$ està indefinit, sovint s'assumeix que:

$\omega =\arccos {{e_{x}} \over {\mathbf {\left|e\right|} }}$

En el cas d'òrbites circulars, sovint s'assumeix que el periàpside se situa en el node ascendent i per tant $\omega =0\,$.