Constant Omega
En matemàtiques, la constant Omega, anotada Ω, és una constant definida per:
Aquí Ω és un cas particular de la funció W de Lambert. El nom de la constant prové del nom alternatiu de la funció W de Lambert, la funció omega. No l'hem de confondre amb la constant Omega de Chaitin, definida en la teoria algorítmica de la informació.
Definició
modificaLa constant prové de la funció W de Lambert, que rep aquest nom en honor del matemàtic alsacià Johann Heinrich Lambert. Té la forma següent:
és un nombre complex, expressat en notació polar de nombres complexos, i la funció ve definida per , complint-se, doncs, la igualtat
La constant omega és el cas particular de la funció W de Lambert quan . L'expressió resultant és la coneguda:
Propietats
modificaValor aproximat
modificaEl valor aproximat d'Ω és:
Altres definicions
modificaLes següents expressions també validen el valor d'Ω:[2]
Es pot calcular el valor d'Ω seguint un mètode iteratiu partint d'un Ω0 i obtenint cada element de la seqüència executant:
La seqüència tendirà al valor d'Ω a mesura que n tendeixi a ∞. Això passa ja que Ω és un punt fix de la funció
S'obtindrà la constant de manera molt més eficient mitjançant la seqüència:[3]
ja que la funció:
té el mateix punt fix però té també la derivada igual a 0 en aquest punt fent que la convergència sigui quadràtica (el nombre nous dígits correctes és aproximadament duplicat per cada iteració.
Una identitat curiosa, atribuïda a Victor Adamchik, és la donada per la relació:
Integral que també es pot expressar de la següent manera:
Irracionalitat
modificaLa constant és un nombre irracional. Mitjançant la reducció a l'absurd es parteix de la base que el nombre és un nombre transcendent (demostrat per Charles Hermite el 1873).
Suposant que és un nombre racional, llavors existeixen i nombres naturals primers entre ells tals que:
llavors:
i finalment:
fet que convertiria el nombre en un nombre algebraic d'ordre , contradient la premissa que és un nombre transcendent (no algebraic).
Transcendència
modificaA més de ser un nombre irracional, la constant Omega és també un nombre transcendent, segons es pot demostrar mitjançant el teorema de Lindemann-Weierstrass. Aquest teorema, juntament amb el de Gelfond-Schneider, constitueix la conjectura de Schanuel, i serveix per determinar si un nombre és transcendent o no. En particular, diu el següent:
Suposem , un nombre algebraic no nul, llavors { } és un conjunt linealment independent sobre els racionals. { } en serà un conjunt algebraicament independent, o en altres paraules, el nombre serà transcendent.
Aplicat a la constant Omega, es suposa que és un nombre algebraic i es parteix de la identitat:
Llavors, si és un nombre algebraic, també ho serà, i per tant, serà, per força, un nombre transcendent, contradient la identitat inicial. Per tant, ha de ser per força un nombre transcendent, sent també un nombre transcendent.
Enllaços externs
modifica- Weisstein, Eric W., «Omega Constant» a MathWorld (en anglès).
Referències
modifica- ↑ https://oeis.org/A030178
- ↑ http://mathworld.wolfram.com/OmegaConstant.html
- ↑ «The Omega constant». 'Numerical Constants'. Gérard P. Michon. [Consulta: 11 gener 2015].