Constant d'Apéry

valor de la funció Zeta de Riemann quan s=3

La constant d'Apéry es defineix com el valor de la funció zeta de Riemann per a un valor de la variable igual a 3, ζ(3):

Infotaula nombreConstant d'Apéry
Tipusconstant matemàtica i nombre irracional Modifica el valor a Wikidata
EpònimRoger Apéry Modifica el valor a Wikidata
Propietats
Valor1,2020569031596 Modifica el valor a Wikidata
Altres numeracions
Fórmules
Expressió algebraica Modifica el valor a Wikidata
ζ(3) = 1,20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999 ...

És a dir, la constant d'Apéry és el límit de la sèrie dels inversos dels cubs:

.

El nom "constant d'Apéry" prové del fet que el matemàtic francès Roger Apéry demostrà, el 1979, que ζ(3) és irracional (proposició coneguda com a Teorema d'Apéry).

Cal destacar que la constant d'Apéry apareix en alguns problemes físics. Per exemple, apareix de manera natural en els termes de segon i tercer ordre de la raó giromagnètica de l'electró (el quocient entre el seu moment dipolar magnètic i el seu moment angular).

Expressions equivalents modifica

Es coneixen diverses expressions equivalents a la constant d'Apéry, algunes de les quals hi convergeixen més ràpidament que la provinent de la sèrie dels inversos dels cubs.

Com a sèrie modifica

Leonhard Euler fou el primer en enunciar que[1][2]

 .

L'any 1890 el matemàtic rus Andrei Màrkov enuncià que[3]

 .

El matemàtic indi Srinivasa Ramanujan va enunciar que[4]

 .

I en 1998 el matemàtic quebequès Simon Plouffe va enunciar que[5]

 .

És també notòria l'expressió[6]

 

L'any 2002 el matemàtic Géry Huvent demostrà que[6]

 

S'han trobat també expressions de la constant en forma de sèrie que permeten accelerar-ne l'aproximació. L'expressió següent tendeix a donar 1,43 nous decimals per terme[7]

 .

Aquesta tendeix a donar 3,01 nous decimals per terme[8]

 .

Aquesta altra tendeix a donar 3,92 nous decimals per terme[9]

 .

I aquesta tendeix a donar 5,04 nous decimals per terme[10][11]

 .

Com a integral modifica

La constant d'Apéry és fàcilment expressable a partir de la integral[6]

 .

També pot expressar-se a partir d'integrals d'una sola variable, com per exemple amb la integral[12]

 

i amb les integrals[13]

 .

Un altre parell d'expressions interessants, com a integral de dues variables, és[14]

 .

A partir de la funció gamma modifica

La constant d'Apéry també té expressions interessants a partir de les funcions gamma i poligamma, com per exemple[15]

 

Referències modifica

  1. Euler, Leonhard «Exercitationes analyticae» (en llatí). Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae, 17, 1773, p. 173–204 [Consulta: 18 maig 2008].
  2. Srivastava, H. M.. Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions. 4, desembre 2000, p. 569–599. DOI 10.11650/twjm/1500407293. OCLC 36978119 [Consulta: 22 agost 2015]. 
  3. Markov, A. A. «Mémoire sur la transformation des séries peu convergentes en séries très convergentes». Mém. De l'Acad. Imp. Sci. De St. Pétersbourg, t. XXXVII, No. 9, 1890, p. 18pp.
  4. Berndt, Bruce C. Ramanujan's notebooks, Part II. Springer, 1989. 
  5. Plouffe, Simon. Identities inspired from Ramanujan Notebooks II, 1998. 
  6. 6,0 6,1 6,2 Weisstein, Eric W., «Constant d'Apéry» a MathWorld (en anglès).
  7. Amdeberhan, Tewodros «Faster and faster convergent series for  ». El. J. Combinat., 3, 1, 1996.
  8. Amdeberhan, Tewodros; Zeilberger, Doron «Hypergeometric Series Acceleration Via the WZ method». El. J. Combinat., 4, 2, 1997.
  9. Mohammed, Mohamud «Infinite families of accelerated series for some classical constants by the Markov-WZ method». Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, 7, 2005, p. 11–24. DOI: 10.46298/dmtcs.342.
  10. Wedeniwski, Sebastian. Simon Plouffe. The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places. Project Gutenberg, 2001. 
  11. Wedeniwski, Sebastian. The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places, 13 desembre 1998. 
  12. Jensen, Johan Ludwig William Valdemar «Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver». L'Intermédiaire des Mathématiciens, II, 1895, p. 346–347.
  13. Blagouchine, Iaroslav V. «Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results». The Ramanujan Journal, 35, 2014, p. 21–110. DOI: 10.1007/s11139-013-9528-5.
  14. Beukers, F. «A Note on the Irrationality of   and  ». Bull. London Math. Soc., 11, 3, 1979, p. 268–272. DOI: 10.1112/blms/11.3.268.
  15. Evgrafov, M. A.; Bezhanov, K. A.; Sidorov, Y. V.; Fedoriuk, M. V.. A Collection of Problems in the Theory of Analytic Functions [in Russian]. Moscow: Nauka, 1969.