Distribució F

En Teoria de probabilitat i Estadística, la distribució F és la distribució de probabilitat definida del quocient de dues variables aleatòries independents amb distribucions khi quadrat, cadascuna dividida pel seu nombre de graus de llibertat. També se la coneix com a distribució F de Snedecor (per George Snedecor) o com a distribució F de Fisher-Snedecor. És fonamental en molts contrasts d'hipòtesis, especialment en els de l'Anàlisi de la variància. La referència bàsica d'aquesta pàgina és Johnson et al.

Funció de distribució de probabilitat
Tipus	Distribució F no central
Epònim	Ronald Aylmer Fisher i George Snedecor
Paràmetres	d1, d₂ > 0 graus de llibertat
Suport	$x\in (0,+\infty )$
fdp	${\frac {d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,d_{2}/2)}}{\frac {x^{d_{1}/2-1}}{(d_{1}x+d_{2})^{(d_{1}+d_{2})/2}}},$ x>0
FD	$I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),\quad x\geq 0$
Esperança matemàtica	${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}$, per d₂ > 2
Moda	${\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}$, per d1 > 2
Variància	${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}},$ per d₂ > 4
Coeficient de simetria	${\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}},$ d₂ > 6
FGM	No existeix
EOM	Fisher-F-distribution
Mathworld	SnedecorsF-Distribution

Definició, funció de densitat i funció de distribució

Sigui $S_{1}\sim \chi _{d_{1}}^{2}$ i $S_{2}\sim \chi _{d_{2}}^{2}$ , independents, amb $d_{1}>0$ i $d_{2}>0$. La variable aleatòria

$$X={\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}$$

es diu que segueix una distribució $F$ amb $d_{1}$ i $d_{2}$ graus de llibertat.. S'escriu $X\sim F(d_{1},d_{2})$.

La seva funció de densitat és

$$f(x)={\frac {d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,\,d_{2}/2)}}\,{\frac {x^{d_{1}/2-1}}{(d_{1}x+d_{2})^{(d_{1}+d_{2})/2}}},\quad x>0,$$

on $B(a,b)$ és la funció beta.

La funció de distribució per a $x\geq 0$ es pot escriure

$$F(x)=I_{m(x)}(d_{1}/2,\,d_{2}/2),\quad {\text{amb}}\quad m(x)={\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}},$$

on $I_{\alpha }(a,b)$ és una funció beta incompleta regularitzada. Per a $x<0$ , $F(x)=0$ .

Comentari sobre els graus de llibertat. El cas més habitual d'una distribució $\chi ^{2}$ és quan el nombre $d$ de graus de llibertat és un nombre natural i llavors es pot interpretar com la suma dels quadrats de $d$ variables aleatòries normals estàndard independents. Però mitjançant la funció de densitat es pot definir una distribució $\chi ^{2}$ que tingui com a graus de llibertat qualsevol nombre real estrictament positiu $d\in (0,\infty )$, nombre que continua anomenat-se els graus de llibertat de la distribució. En conseqüència, pot definir-se la distribució $F$ amb graus de llibertat qualsevol nombres $d_{1},\,d_{2}\in (0,\infty )$.

Càlcul de la funció de densitat

Comencem buscant la funció de densitat de

$$G={\frac {S_{1}}{S_{2}}}.$$

Amb aquest objectiu, considerarem el canvi $(S_{1},S_{2})\mapsto (G,S_{2})$ i després buscarem la marginal de $G$. Per la independència de $S_{1}$ i $S_{2}$ , la densitat conjunta del vector $(S_{1},S_{2})$ és el producte de les densitats d'aquestes dues variables:

$$f_{(S_{1},S_{2})}(u,v)=Cu^{d_{1}/2-1}\,v^{d_{2}/2-1}e^{-(u+v)/2},\quad u>0,\,v>0.$$

on

$$C={\frac {2^{-(d_{1}+d_{2})/2}}{\Gamma (d_{1}/2)\Gamma (d_{2}/2)}}.$$

Considerem l'aplicació $h:(0,\infty )^{2}\rightarrow (0,\infty )^{2}$ donada per

$$h(u,v)={\bigg (}{\frac {u}{v}},\,v{\bigg )}.$$

que és bijectiva. La inversa és $g=h^{-1}:(0,\infty )^{2}\rightarrow (0,\infty )^{2}$ ,

$$g(x,v)=(xv,v).$$

El determinant jacobià de $g$ és $J_{g}=v$ . Llavors, la funció de densitat de $(G,S_{2})$ (vegeu l'apartat de funcions d'un vector aleatori amb densitat de la pàgina Vector aleatori) és

$$f_{(G,S_{1})}(x,v)=Cx^{d_{1}/2-1}v^{(d_{1}+d_{2})/2-1}e^{-v(1+x)/2},\quad x>0,\,v>0.$$

Per tant,

$$f_{G}(x)=\int _{0}^{\infty }f_{G,S_{1}}(x,v)\,dv=Cx^{d_{1}/2-1}\int _{0}^{\infty }v^{(d_{1}+d_{2})/2}e^{-v(1+x)/2}\,dv.$$

La integral de la dreta es pot calcular mitjançant la funció gamma i, canviant $C$ pel seu valor, s'obté

$$f_{G}(x)={\frac {1}{B(d_{1}/2,\,d_{2}/2)}}\,{\frac {x^{d_{1}/2-1}}{(1+x)^{(d_{1}+d_{2})/2}}}.$$

Finalment, per calcular la densitat de

$$X={\frac {d_{2}}{d_{1}}}\,G,$$

s'utilitza que si $Y$ és una variable aleatòria amb funció de densitat $f_{Y}$ , llavors la densitat de la variable $R=aY$, amb $a>0$ , és

$$f_{R}(x)={\frac {1}{a}}f_{Y}{\bigg (}{\frac {x}{a}}{\bigg )}.$$

Càlcul de la funció de distribució

Per a $x\geq 0$ tenim

$$F(x)={\frac {d_{1}^{d_{1}/2}\,d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,\,d_{2}/2)}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{d_{1}/2-1}}{(d_{1}t+d_{2})^{(d_{1}+d_{2})/2}}}\,dt.$$

En aquesta integral es fa el canvi

$$t={\frac {d_{2}}{d_{1}}}\,{\frac {y}{1-y}},$$

i s'obté una integral del tipus funció beta.

Funció característica

Phillips dóna la següent expressió de la funció característica de $X\sim F(d_{1},d_{2})$:

$$\varphi (t)={\frac {\Gamma {\big (}(d_{1}+d_{2})/2{\big )}}{\Gamma (d_{2}/2)}}\,U{\bigg (}{\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},it{\frac {d_{2}}{d_{1}}}{\bigg )},$$

on $U(a,b,z)$ és la funció hipergeomètrica confluent de 2a. classe. Vegeu Johnson et al. per a un desenvolupament en sèrie de la funció característica.

Moments

Sigui $X\sim F(d_{1},\,d_{2})$. Llavors $X$ té moment d'ordre $n$ si i només si $n<d_{2}/2$ . En aquest cas,

$$E[X^{n}]={\frac {d_{2}^{n}}{d_{1}^{n}}}\,{\frac {\Gamma (d_{1}/2+n)\,\Gamma (d_{2}/2-n)}{\Gamma (d_{1}/2)\,\Gamma (d_{2}/2)}}={\frac {d_{2}^{n}}{d_{1}^{n}}}\,{\frac {d_{1}(d_{1}+2)\cdots (d_{1}+2n-2)}{(d_{2}-2)(d_{2}-4)\cdots (d_{2}-2n)}}.$$

En particular, si $d_{2}>2$, llavors $X$ te esperança i val

$$E[X]={\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}.$$

Si $d_{2}>4$, $X$ te moment de 2n ordre

$$E[X^{2}]={\frac {d_{2}^{2}(d_{1}+2)}{d_{1}(d_{2}-2)(d_{2}-4)}}$$

i

$${\text{Var}}(X)={\frac {2d_{2}^{2}(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}.$$

Prova

Atès que $S_{1}$ i $S_{2}$ són positives i independents, tenim que

$$E[X^{n}]={\frac {d_{2}^{n}}{d_{1}^{n}}}E[S_{1}^{n}]\,E[S_{2}^{-n}].$$

D'una banda, per les propietats de les distribucions khi quadrat,

$$E[S_{1}^{n}]=2^{n}\,{\frac {\Gamma (d_{1}/2+n)}{\Gamma (d_{1}/2)}}.\qquad (1)$$

D'altra banda,

$$E[S_{2}^{-n}]={\frac {1}{2^{d_{2}/2}\,\Gamma (d_{2}/2)}}\int _{0}^{\infty }x^{d_{2}/2-n-1}e^{-x/2}\,dx.$$

La integral de la dreta és del tipus funció Gamma, i llavors, si $n<d_{2}/2$, tenim que

$$E[S_{2}^{-n}]={\frac {1}{2^{d_{2}/2}\Gamma (d_{2}/2)}}\,{\frac {\Gamma (d_{2}/2-n)}{(1/2)^{d_{2}/2-n}}}={\frac {\Gamma (d_{2}/2-n)}{2^{n}\Gamma (d_{2}/2)}}.\qquad (2)$$

Si $n\geq d_{2}/2$ , aleshores la integral val infinit. Quan $n<d_{2}/2$ ajuntant (1) i (2) s'obté el resultat.

Entropia

$$h=\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)-\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)+\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}},$$

on $\psi (z)$ és la funció digamma. Vegeu Lazo and Rathie.

Vegeu també

• Test F