Distribució de Pareto generalitzada

En estadística, la distribució de Pareto generalitzada (GPD) és una família de distribucions de probabilitat contínues. Sovint s'utilitza per modelar les cues d'una altra distribució. S'especifica per tres paràmetres: ubicació $\mu$, escala $\sigma$, i forma $\xi$. De vegades només s'especifica per l'escala i la forma i de vegades només pel seu paràmetre de forma. Algunes referències donen el paràmetre de forma com $\kappa =-\xi \,$.

Distribució de Pareto generalitzada

Funció de densitat de probabilitat
Funció de distribució de probabilitat
Tipus	distribució de probabilitat contínua
Paràmetres	$\mu \in (-\infty ,\infty )\,$ ubicació (real) $\sigma \in (0,\infty )\,$ escala (real) $\xi \in (-\infty ,\infty )\,$ forma (real)
Suport	$x\geqslant \mu \,\;(\xi \geqslant 0)$ $\mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi \,\;(\xi <0)$
fdp	${\frac {1}{\sigma }}(1+\xi z)^{-(1/\xi +1)}$ on $z={\frac {x-\mu }{\sigma }}$
FD	$1-(1+\xi z)^{-1/\xi }\,$
Esperança matemàtica	$\mu +{\frac {\sigma }{1-\xi }}\,\;(\xi <1)$
Mediana	$\mu +{\frac {\sigma (2^{\xi }-1)}{\xi }}$
Moda	$\mu$
Variància	${\frac {\sigma ^{2}}{(1-\xi )^{2}(1-2\xi )}}\,\;(\xi <1/2)$
Coeficient de simetria	${\frac {2(1+\xi ){\sqrt {1-2\xi }}}{(1-3\xi )}}\,\;(\xi <1/3)$
Curtosi	${\frac {3(1-2\xi )(2\xi ^{2}+\xi +3)}{(1-3\xi )(1-4\xi )}}-3\,\;(\xi <1/4)$
Entropia	$\log(\sigma )+\xi +1$
FGM	$e^{\theta \mu }\,\sum _{j=0}^{\infty }\left[{\frac {(\theta \sigma )^{j}}{\prod _{k=0}^{j}(1-k\xi )}}\right],\;(k\xi <1)$
FC	$e^{it\mu }\,\sum _{j=0}^{\infty }\left[{\frac {(it\sigma )^{j}}{\prod _{k=0}^{j}(1-k\xi )}}\right],\;(k\xi <1)$

Definició

La funció de distribució acumulada estàndard (cdf) de la GPD es defineix per

$F_{\xi }(z)={\begin{cases}1-\left(1+\xi z\right)^{-1/\xi }&{\text{per a }}\xi \neq 0,\\1-e^{-z}&{\text{per a }}\xi =0.\end{cases}}$

on hi ha el suport $z\geq 0$ per $\xi \geq 0$ i $0\leq z\leq -1/\xi$ per $\xi <0$ . La funció de densitat de probabilitat corresponent (fdp) és

$f_{\xi }(z)={\begin{cases}(1+\xi z)^{-{\frac {\xi +1}{\xi }}}&{\text{per a }}\xi \neq 0,\\e^{-z}&{\text{per a }}\xi =0.\end{cases}}$

Caracterització

La família de distribucions a escala de localització relacionada s'obté substituint l'argument z per ${\frac {x-\mu }{\sigma }}$ i ajustant el suport en conseqüència.

La funció de distribució acumulada de $X\sim GPD(\mu ,\sigma ,\xi )$ ($\mu \in \mathbb {R}$, $\sigma >0$, i $\xi \in \mathbb {R}$) és

$F_{(\mu ,\sigma ,\xi )}(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }&{\text{per a }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)&{\text{per a }}\xi =0,\end{cases}}$

on el suport de $X$ és $x\geqslant \mu$ Quan $\xi \geqslant 0\,$, i $\mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi$ Quan $\xi <0$.

La funció de densitat de probabilitat (fdp) de $X\sim GPD(\mu ,\sigma ,\xi )$ és

$f_{(\mu ,\sigma ,\xi )}(x)={\frac {1}{\sigma }}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}$

de nou, per $x\geqslant \mu$ Quan $\xi \geqslant 0$, i $\mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi$ Quan $\xi <0$.

La fdp és una solució de l'equació diferencial següent:

$\left\{{\begin{array}{l}f'(x)(-\mu \xi +\sigma +\xi x)+(\xi +1)f(x)=0,\\f(0)={\frac {\left(1-{\frac {\mu \xi }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}-1}}{\sigma }}\end{array}}\right\}$