Distribució khi quadrat no central

En Teoria de la Probabilitat i Estadística, la distribució khi quadrat no central (o distribució $\chi ^{2}$ no central) és una generalització de la distribució khi quadrat incorporant un paràmetre que s'anomena de no centrament. Sovint sorgeix en l'anàlisi de potència de contrast d'hipòtesis estadístiques en què la distribució nul·la és (potser asimtòticament) una distribució khi quadrat; exemples importants d'aquestes proves són les prova de raó de versemblança.

Distribució $\chi ^{2}$ no central

Funció de distribució de probabilitat
Tipus	Densitat
Paràmetres	$k>0\,$ graus de llibertat $\lambda >0\,$ paràmetre de no centralitat
Suport	$x\in (0,+\infty )\;$
fdp	${\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})$
FD	$1-Q_{\frac {k}{2}}\left({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}}\right)$ on $Q_{M}(a,b)$ és la Funció Q de Marcum
Esperança matemàtica	$k+\lambda \,$
Variància	$2(k+2\lambda )\,$
Coeficient de simetria	${\frac {2^{3/2}(k+3\lambda )}{(k+2\lambda )^{3/2}}}$
Curtosi	${\frac {12(k+4\lambda )}{(k+2\lambda )^{2}}}$
FGM	${\frac {\exp \left({\frac {\lambda t}{1-2t}}\right)}{(1-2t)^{k/2}}},\ 2t<1$
FC	${\frac {\exp \left({\frac {i\lambda t}{1-2it}}\right)}{(1-2it)^{k/2}}}$

Definicions

Com el el cas de la distribució $\chi ^{2}$ordinària començarem pel cas que el nombre de graus de llibertat sigui un nombre enter positiu i després, mitjançant la funció de densitat ho estendrem a qualsevol nombre de graus de llibertat $k>0$ .Siguin $X_{1},\dots ,X_{k}$ variables aleatòries independents, distribuïdes normalment amb mitjanes $\mu _{1},\dots ,\mu _{k}$ respectivament i totes amb variància 1: $X_{j}\sim N(\mu _{j},1),\ j=1,\dots ,k$. Aleshores es diu que la variable aleatòria

$$J=\sum _{i=1}^{k}X_{i}^{2}$$

té una distribució khi-quadrat no central amb $k$ graus de llibertat i paràmetre de no centralitat $\lambda =\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}^{2}.$ S'escriu $J\sim \chi _{k}^{2}(\lambda )$. Si $\lambda =0$ , aleshores $J$ té una distribució $\chi ^{2}$ ordinària amb $k$ graus de llibertat: $X\sim \chi _{k}^{2}$ .

Equivalentment, es pot definir la distribució $\chi _{k}^{2}(\lambda )$ com la distribució de la suma

$$(Z_{1}+\mu _{1})^{2}+\cdots +(Z_{k}+\mu _{k})^{2},$$

on $Z_{1},\dots ,Z_{k}$ són variables aleatòries independents, totes amb distribució normal estàndard ${\mathcal {N}}(0,1)$ .

Nota: Algunes referències defineixen el paràmetre de no centralitat d'altres maneres, com la meitat de la suma $\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}^{2}$ o la seva arrel quadrada.

Funció de densitat

La funció de densitat de probabilitat (pdf) ve donada per

$$f_{J}(x;k,\lambda )=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda /2}(\lambda /2)^{j}}{j!}}f_{Y_{k+2j}}(x),\quad x>0,\quad (*)$$

on $Y_{q}$ es distribueix com una $\chi ^{2}$amb $q$ graus de llibertat, $Y_{q}\sim \chi _{q}^{2}$ i $f_{Y_{q}}(x)$ és l seva funció de densitat:

$$f_{Y_{q}}(x)={\frac {x^{q/2-1}\,e^{-x/2}}{2^{q/2}\,\Gamma (q/2)}},\quad x>0,$$

on $\Gamma (u)$ és la funció gamma d'Euler.

És a dir, la distribució $\chi _{k}^{2}(\lambda )$ és una mixtura de distribucions $\chi _{k+2j}^{2},\ j=0,1,2,\dots$ , amb pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre $\lambda /2$ .

Càlcul de la funció de densitat

El càlcul de la funció de densitat és laboriós i el separarem en 4 passos: Sigui $J\sim \chi _{k}^{2}(\lambda )$.

1r. pas. Demostrarem la descomposició

$$J\quad {\overset {\mathcal {D}}{=}}\quad J_{1}+J_{2},$$

on $J_{1}\sim \chi _{1}^{2}(\lambda )$ , $J_{2}\sim \chi _{k-1}^{2}$, $J_{1}$ i $J_{2}$ són independents, i ${\overset {\mathcal {D}}{=}}$ vol dir igualtat en distribució o llei (vegeu la pàgina Variable aleatòria).

2n. pas. Calcularem una primera versió de la funció de densitat de $J_{1}$.

3r. pas. Reescriurem la funció de densitat que hem trobat al pas anterior i identificarem una mixtura de distribucions $\chi ^{2}$amb diferents graus de llibertat i pesos de Poisson.

4t. pas. Ajuntant els passos 1 i 3 deduirem la densitat de $J$.

1r. pas. Escrivim

$$J=(Z_{1}+\mu _{1})^{2}+\cdots +(Z_{k}+\mu _{k})^{2}.$$

El nostre objectiu és veure que tenim

$$J\quad {\overset {\mathcal {D}}{=}}\quad (Z_{1}+{\sqrt {\lambda }})^{2}+Z_{2}^{2}+\cdots +Z_{k}^{2},\quad \quad (1)$$

on $\lambda =\sum _{j=1}^{k}\mu _{k}^{2}$, i llavors definirem

$$J_{1}=(Z_{1}+{\sqrt {\lambda }})^{2}\sim \chi _{1}^{2}(\lambda )\quad {\text{i}}\quad J_{2}=Z_{2}^{2}+\cdots +Z_{k}^{2}\sim \chi _{k-1}^{2}.$$

Partim de les variables $X_{1},\dots ,X_{k}$ independents, amb $X_{j}\sim {\mathcal {N}}_{k}(\mu _{j},1),\ j=1,\dots ,k$. Considerem el vector aleatori normal multidimensional

$${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{k})'\sim {\mathcal {N}}_{k}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {I}}),$$

on $A'$ vol dir la transposada de la matriu o vector $A$, ${\boldsymbol {\mu }}=(\mu _{1},\dots ,\mu _{k})'$ i ${\boldsymbol {I}}$ és la matriu identitat de dimensió $k$. Notem que $\delta ={\boldsymbol {\mu }}'{\boldsymbol {\mu }}=\Vert {\boldsymbol {\mu }}\Vert ^{2}.$ Considerem una matriu ortogonal ${\boldsymbol {H}}$ tal que la seva primera fila sigui $\mu _{1}/{\sqrt {\delta }},\dots ,\mu _{k}/{\sqrt {\delta }}$ . Aquesta matriu pot construir-se partint del vector ${\boldsymbol {\mu }}$, ampliant-ho a una base de $\mathbb {R} ^{k}$, ortonormalitzant la base pel procediment d'ortogonaització de Gramm-Schmidt i utilitzant aquests vectors com a files de la matriu. Sigui

$${\boldsymbol {Y}}={\boldsymbol {HX}}\sim {\mathcal {N}}_{k}{\big (}({\sqrt {\lambda }},0,\dots ,0)',{\boldsymbol {I}}{\big )}.$$

Llavors, per l'ortogonalitat de la matriu ${\boldsymbol {H}}$,

$${\boldsymbol {Y'Y}}={\boldsymbol {X'X}}=J,$$

d'on s'obté l'expressió (1).

2n. pas. Càlcul d'una primera versió de la funció de densitat de $J_{1}=(Z_{1}+{\sqrt {\lambda }})^{2}$ . La variable aleatòria $J_{1}$ és la transformació d'una variable $Y=(Z_{1}+{\sqrt {\lambda }})\sim {\mathcal {N}}({\sqrt {\lambda }},1)$mitjançant la funció $h:\mathbb {R} \rightarrow [0,\infty )$ donada per $h(y)=y^{2}$; però aquesta funció no és bijectiva i cal separ-la en dues parts bijectives:

$$h_{1}:(0,\infty )\rightarrow (0,\infty )\quad {\text{i}}\quad h_{2}:(-\infty ,0)\rightarrow (0,\infty )$$

definides ambdues per

$$h_{1}(y)=h_{2}(y)=y^{2}.$$

Les inverses respectives són

$$g_{1}:(0,\infty )\rightarrow (0,\infty )\quad {\text{i}}\quad g_{2}:(0,\infty )\rightarrow (-\infty ,0)$$

$$g_{1}(x)={\sqrt {x}}\quad {\text{i}}\quad g_{2}(x)=-{\sqrt {x}}$$

Aleshores la funció de densitat de $J_{1}$ és

$$f_{J_{1}}(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\Big (}e^{-({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})^{2}/2}+e^{-(-{\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})^{2}/2}{\Big )}={\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}e^{-(x+\lambda )/2}\cosh {\big (}{\sqrt {\lambda x}}{\big )},\quad x>0.$$

3r. pas. Identificació de la distribució $J_{1}$ de com una mixtura de distribucions $\chi ^{2}$ amb pesos donats per una distribució de Poisson.

Designarem per $f_{Y_{n}}(x)$ la funció de densitat d'una distribució $\chi _{n}^{2}$. Notem que per una distribució $\chi _{1+2j}^{2},\ j=0,1,2,\dots$ tenim

$$f_{Y_{1+2j}}(x)={\frac {x^{-1/2+j}e^{-x/2}}{2^{1/2+j}\,\Gamma (1/2+j)}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}\,{\frac {x^{j}e^{-x/2}}{2^{j}\,1\cdot 3\cdots (2j-1)}},\quad x>0.$$

D'altra banda, el desenvolupament en sèrie de Taylor del cosinus hiperbòlic és

$$\cosh y=1+{\frac {y^{2}}{2!}}+{\frac {y^{4}}{4!}}+\dots =\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {y^{2j}}{(2j)!}}.$$

Aleshores,

$$\cosh {\big (}{\sqrt {\lambda x}}{\big )}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{j}x^{j}}{(2j)!}}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{j}x^{j}}{2^{j}j!\,1\cdot 3\cdots (2j-1)}}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}{\frac {x^{j}}{2^{j}\,1\cdot 3\cdots (2j-1)}}.$$

Per tant,

$$f_{J_{1}(x)}={\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}e^{-(x+\lambda )/2}\cosh {\big (}{\sqrt {\lambda x}}{\big )}=e^{-\lambda /2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}\,{\frac {x^{j}e^{-x/2}}{2^{j}\,1\cdot 3\cdots (2j-1)}}=e^{-\lambda /2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}\,f_{Y_{1+2j}}(x).$$

En conseqüència, $J_{1}$ és una mixtura de distribucions$\chi _{1+2j}^{2},\ j=0,1,2,\dots$ amb pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre $\lambda /2$.

"4t." pas. Càlcul de la funció de densitat de $J$ . Utilitzarem les propietats de la funció generatriu de moments (també es podria fer de manera anàloga amb les funcions característiques). Designarem per $M_{Y_{n}}$ la funció generatriu d'una variable aleatòria $Y_{n}\sim \chi _{n}^{2}$  :

$$M_{Y_{n}}(t)=E[e^{tY_{n}}]={\frac {1}{(1-2t)^{n/2}}},\quad t\in (-\infty ,1/2).$$

Escrivim

$$p_{j}=e^{-\lambda /2}\,{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}},\ j=0,1,\dots$$

els pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre $\lambda /2$ . Per les propietats de les mixtures de distribucions, la funció generatriu de moments de $J_{1}$ és

$$M_{J_{1}}(t)=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}M_{Y_{1+2j}}(t).$$

Donada la independència entre $J_{1}$ i $J_{2}$ (vegeu el primer pas), tindrem que

$$M_{J}(t)=M_{J_{1}}(t)\,M_{J_{2}}(t),$$

i atès que $J_{2}\sim \chi _{k-1}^{2}$, $M_{J_{2}}=M_{Y_{k-1}}$. Fent les operacions corresponents arribem a que

$$M_{J}(t)=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}M_{Y_{k+2j}}(t).$$

Per tant, identifiquem una mixtura de distribucions$\chi _{k+2j}^{2},\ j=0,1,2,\dots$ amb pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre $\lambda /2$. Llavors, la funció de densitat de $J$ és

$$f_{J}(x)=e^{-\lambda /2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}\,f_{Y_{k+2j}}(x).$$

Expressió alternativa de la funció de densitat

La funció de densitat també es pot escriure

$$f_{J}(x)={\frac {1}{2}}\,e^{-(x+\lambda )/2}{\Big (}{\frac {x}{\lambda }}{\Big )}^{k/4-1/2}\,I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}}),\quad x>0,$$

on $I_{\alpha }(y)$ és la funció de Bessel modificada de primer tipus,

$$I_{\alpha }(y)={\Big (}{\frac {y}{2}}{\Big )}^{\alpha }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(y^{2}/4)^{j}}{j!\,\Gamma (\alpha +j+1)}}.$$

Prova

Si desenvolupem $f_{Y_{k+2j}}$ tenim que la funció de densitat té l'expressió

$$f_{J}(x)=e^{-\lambda /2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}\,{\frac {x^{k/2+j-1}\,e^{-x/2}}{2^{k/2+j}\,\Gamma (k/2+j)}}.$$

D'altra banda, $I_{k/2-1}{\big (}{\sqrt {\lambda x}}{\big )}$ val

$$I_{k/2-1}{\big (}{\sqrt {\lambda x}}{\big )}={\bigg (}{\frac {\sqrt {\lambda x}}{2}}{\bigg )}^{k/2-1}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda x/4)^{j}}{j!\,\Gamma (k/2+j)}},$$

i només cal reagrupar els termes a $f_{J}(x)$

Extensió a un nombre de graus de llibertat no enter

La funció (*) està ben definida i és una funció de densitat per a qualsevol $k>0$ . Per tant, podem definir una variable $\chi _{k}^{2}(\delta )$ amb $k>0$ com aquella que té per funció de densitat (*). Naturalment, es perd la interpretació com al nombre de sumands independents.

Moments, funció generatriu de moments i funció característica

Els moments es poden calcular utilitzant les propietats de les mixtures de distribucions. Sigui $J\sim \chi _{k}^{2}(\lambda )$ i $Y_{q}\sim \chi ^{2}(q)$. Designem per $p_{j}$ els pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre $\lambda /2$:

$$p_{j}=e^{-\lambda /2}\,{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}},\ j=0,1,\dots$$

Aleshores, atès que una distribució khi-quadrat té moments de tots els ordres, tindrem que la distribució khi-quadrat no central també, i

$$E{\big [}J^{n}{\big ]}=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}\,E{\big [}Y_{k+2j}^{n}{\big ]}.$$

Per exemple, per a $n=1$, $E[Y_{q}]=q$ i llavors

$$E[J]=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}(k+2j)=k\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}+2\sum _{j=0}^{\infty }jp_{j}=k+2\,{\frac {\lambda }{2}}=k+\lambda .$$

De manera anàloga, es calcula

$$E[J^{2}]=(k+\lambda )^{2}+2(k+2\lambda ),$$

d'on

$${\text{Var}}(J)=2(k+2\lambda ).$$

La funció generatriu de moments també es pot calcular de la mateixa forma: Designem per $M_{Y}$ la funció generatriu de moments d'una variable aleatòria $Y$,

$$M_{Y}(t)=E[e^{tY}].$$

Si $Y_{q}\sim \chi ^{2}(q)$,

$$M_{Y_{q}}(t)={\frac {1}{(1-2t)^{q/2}}},\ t\in (-\infty ,1/2).$$

Llavors, per a $t\in (-\infty ,1/2)$,

$$M_{J}(t)=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}\,M_{k+2j}(t)=e^{-\lambda /2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}\,{\frac {1}{(1-2t)^{k/2+j}}}={\frac {e^{-\lambda /2}}{(1-2t)^{k/2}}}\,\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\,{\bigg (}{\frac {\lambda }{2(1-2t)}}{\bigg )}^{j}={\frac {e^{\lambda t/(1-2t)}}{(1-2t)^{k/2}}}.$$

Anàlogament, la funció característica dóna

$$\varphi _{J}(t)={\frac {e^{i\lambda t/(1-2it)}}{(1-2it)^{k/2}}}.$$

Una propietat de les formes quadràtiques en variables normals

Aquesta propietat, que té interès per ella mateixa, és el fonament de la utilització de la distribució $\chi _{k}^{2}(\lambda )$ en l'estudi de la potència d'un test sobre la mitjana d'una població normal multivariable, segon veurem en un exemple.

Propietat. Considerem un vector aleatori normal multivariable ${\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}_{k}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ amb ${\text{det}}({\boldsymbol {\Sigma }})>0$. Aleshores:

1. ${\boldsymbol {(X-\mu )'\Sigma ^{-1}(X-\mu )}}\sim \chi _{k}^{2}$.
2. ${\boldsymbol {X'\Sigma ^{-1}X}}\sim \chi _{k}^{2}(\lambda )$, amb $\lambda ={\boldsymbol {\mu '\Sigma ^{-1}\mu }}$.

Prova

1. Existeix una única matriu definida positiva ${\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}$ tal que ${\boldsymbol {(}}\Sigma ^{1/2})^{2}={\boldsymbol {\Sigma }}$ anomenada arrel quadrada de ${\boldsymbol {\Sigma }}$; designem per ${\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}$ la seva inversa. Per les propietats de les lleis normals multivariables,

$${\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}{\big (}{\boldsymbol {X}}-{\boldsymbol {\mu }}{\big )}\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{d}).$$

Llavors,

$${\boldsymbol {(X-\mu )'\Sigma ^{-1}(X-\mu )}}={\boldsymbol {U'U}}\sim \chi _{k}^{2}.$$

2. Ara definim

$${\boldsymbol {V}}={\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}{\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\Sigma ^{-1/2}\mu }},{\boldsymbol {I}}_{d}).$$

Llavors,

$${\boldsymbol {X'\Sigma ^{-1}X}}={\boldsymbol {V'V}}\sim \chi _{k}^{2}(\lambda ),$$

amb

$$\lambda ={\bigg (}{\boldsymbol {\Sigma ^{-1/2}\mu }}{\bigg )}'{\bigg (}{\boldsymbol {\Sigma ^{-1/2}\mu }}{\bigg )}={\boldsymbol {\mu '\Sigma ^{-1}\mu }}.$$

Exemple. Muirhead. Considerem un contrast d'hipòtesis sobre la mitjana d'una població normal multivariable amb matriu de variàncies-covariàncies coneguda. Sigui ${\boldsymbol {X}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {X}}_{n}$ una mostra d'una distribució ${\mathcal {N}}_{k}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$. Llavors

$${\overline {\boldsymbol {X}}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {X}}_{i}\sim {\mathcal {N}}_{k}({\boldsymbol {\mu }},\,{\frac {1}{n}}{\boldsymbol {\Sigma }}).$$

Fixem ${\boldsymbol {\mu }}_{0}\in \mathbb {R} ^{k}$. Anem a fer el contrast

$${\text{H}}_{0}:\ {\boldsymbol {\mu }}={\boldsymbol {\mu }}_{0}\quad {\text{contra}}\quad {\text{H}}_{1}:\ {\boldsymbol {\mu }}\neq {\boldsymbol {\mu }}_{0}.$$

Com a estadístic de contrast utilitzarem

$$W={\boldsymbol {(X-\mu _{0})'\Sigma ^{-1}(X-\mu _{0})}}.$$

Fixem un nivell de significació del test $\alpha .$ Atès que, per la primera part de la propietat anterior, sota ${\text{H}}_{0}$ , $W\sim \chi _{k}^{2}$ , rebutjarem ${\text{H}}_{0}$ si

$$W>C_{\alpha },$$

on $C_{\alpha }$ és el nombre tal que

$$P(\chi _{k}^{2}>C_{\alpha })=\alpha .$$

Si ${\text{H}}_{0}$ no és veritat,

$${\overline {\boldsymbol {X}}}-{\boldsymbol {\mu }}_{0}\sim {\mathcal {N}}_{k}({\boldsymbol {\mu }}-{\boldsymbol {\mu }}_{0},\,{\frac {1}{n}}{\boldsymbol {\Sigma }}).$$

Per tant, per la segona part de la propietat anterior,

$$W\sim \chi _{k}^{2}(\lambda ),\quad {\text{amb}}\quad \lambda =n({\boldsymbol {\mu }}-{\boldsymbol {\mu }}_{0})'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\boldsymbol {\mu }}-{\boldsymbol {\mu }}_{0}).$$

Per tant, la potència del test és funció de $\lambda$:

$$\beta (\lambda )=P_{\lambda }(W>C)=P{\big (}\chi _{k}^{2}(\lambda )>C_{\alpha }{\big )}.$$

Ocurrència i aplicacions

Es poden obtenir intervals de tolerància de regressió normal a dues cares basant-se en la distribució khi quadrat no central. Això permet calcular un interval estadístic dins del qual, amb un cert nivell de confiança, es troba una proporció especificada d'una població mostrada.