Distribució t multivariant

En Teoria de la probabilitat i Estadística, la distribució $t$ mutivariable o multivariant és una extensió vectorial de la distribució $t$ de Student. Aquesta distribució és una alternativa a la distribució normal multivariable quan apareixen dades atípiques (outliers) o cues pesades, com passa sovint en l'anàlisi de dades financeres. D'altra banda, també és molt utilitzada en estadística bayesiana multivariant com a distribució a priori .

Distribució t multivariant

Tipus	distribució conjunta, Distribució el·líptica i matrix t-distribution (en)
Notació	$t_{p}(\nu ,{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$
Paràmetres	${\boldsymbol {\mu }}=(\mu _{1},\dots ,\mu _{p})^{\prime }\in \mathbb {R} ^{p}$ ${\boldsymbol {\Sigma }}$ matriu $p\times p$ definida positiva $\nu \in (0,\infty )$ graus de llibertat
Suport	$\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{p}\!$
fdp	${\frac {\Gamma \left[(\nu +p)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\nu ^{p/2}\pi ^{p/2}({\text{det}}{\boldsymbol {\Sigma }})^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{'}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})\right]^{-(\nu +p)/2}$
Esperança matemàtica	${\boldsymbol {\mu }}$, si $\nu >1$
Mediana	${\boldsymbol {\mu }}$
Moda	${\boldsymbol {\mu }}$
Variància	${\frac {\nu }{\nu -2}}{\boldsymbol {\Sigma }}$, si $\nu >2$
Coeficient de simetria	0

Definició

Escriurem tots els vectors en columna i per una matriu o vector ${\boldsymbol {A}}$ , escriurem ${\boldsymbol {A}}'$ per designar la seva transposada.

El cas més senzill

Siguin $Z_{1},\dots ,Z_{p}$ variables aleatòries independents , totes amb distribució normal estàndard ${\mathcal {N}}(0,1)$, i sigui $Q$ una variable aleatòria amb distribució hki quadrat amb $\nu >0$ graus de llibertat, $Q\sim \chi _{\nu }^{2}$ , independent de $Z_{1},\dots ,Z_{p}$. Definim el vector

$${\boldsymbol {T}}=(T_{1},\dots ,T_{p})^{\prime }={\frac {1}{\sqrt {Q/\nu }}}\,(Z_{1},\dots ,Z_{p})'.$$

Es diu que ${\boldsymbol {T}}$ té té una distribució $t$ multivariable amb $\nu$ graus de llibertat. Noteu que

$$T_{j}={\frac {Z_{j}}{\sqrt {Q/\nu }}},\ j=1,\dots ,p,$$

tenen distribució $t$ de Student amb $\nu$ graus de llibertat, $T_{j}\sim t(\nu )$, però no són independents ja que totes tenen el factor $Q$.

En notació vectorial, si escrivim ${\boldsymbol {Z}}=(Z_{1},\dots ,Z_{p})^{\prime }$, que és un vector normal multivariable ${\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{p})$, on ${\boldsymbol {I}}_{p}$ és la matriu identitat de dimensió $p$, tenim

$${\boldsymbol {T}}={\frac {1}{\sqrt {Q/\nu }}}\,{\boldsymbol {Z}}.\qquad \qquad (1)$$

Notació: S'escriu ${\boldsymbol {T}}\sim {\boldsymbol {t}}_{p}(\nu ,{\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{p})$. La funció de densitat de ${\boldsymbol {T}}$ és

$$f_{\boldsymbol {T}}(x_{1},\dots ,x_{p})={\frac {\Gamma \left[(\nu +p)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\nu ^{p/2}\pi ^{p/2}}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\sum _{j=1}^{p}x_{j}^{2}\right)^{-(\nu +p)/2}.\qquad \qquad (2)$$

Aquest densitat es troba exactament igual que la de la funció de densitat de la distribució $t$ de Student, però fent el canvi de variables$(Z_{1},\dots ,Z_{p},Q)\longrightarrow (T_{1},\dots ,T_{p},Q)$ i calculant la densitat marginal de $(T_{1},\dots ,T_{p})$.

Per a $p=1$, l'expressió (2) es redueix a la funció de densitat de la distribució $t$ de Student amb $\nu$ graus de llibertat.

Estudiem el cas $p=2$ . Tenim

$$f_{T_{1},T_{2}}(x_{1},x_{2})={\frac {\Gamma \left[(\nu +2)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\nu \,\pi }}\left(1+{\frac {1}{\nu }}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})\right)^{-(\nu +2)/2}.$$

Per construcció, les densitats marginals de $T_{1}$ i $T_{2}$ són

$$f_{T_{1}}(x)=f_{T_{2}}(x)={\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{\Gamma (\nu /2)\,{\sqrt {\pi \nu }}}}{\Big (}1+{\frac {x^{2}}{\nu }}{\Big )}^{-(\nu +1)/2}.$$

Per tant,

$$f_{T_{1}}(x_{1})\,f_{T_{2}}(x_{2})\neq f_{T_{1},T_{2}}(x_{1},x_{2}),$$

que és coherent amb el fet que $T_{1}$ i $T_{2}$ no són independents. Però també implica que si $S_{1}$ i $S_{2}$ són dues variables aleatòries independents ambdues amb distribució $t_{\nu }$ , llavors el vector $(S_{1},S_{2})$ no té una distribució $t$ bivariable, en contrast amb allò que passa amb les variables normals independents. Finalment, noteu que si $\nu >2$, llavors $T_{1}$ i $T_{2}$ tindran moment de segon ordre i

$$E[T_{1}]=E[T_{2}]=0,$$

i

$$E[T_{1}T_{2}]=\nu \,E{\Big [}{\frac {1}{Q}}{\Big ]}E[Z_{1}]\,E[Z_{2}]=0,$$

amb la qual cosa $T_{1}$ i $T_{2}$ estan incorrelacionades

Cas general

Sigui ${\boldsymbol {Y}}\sim {\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {\Sigma }})$, on ${\boldsymbol {\Sigma }}$ és una matriu definida positiva (en particular, simètrica i amb determinant diferent de 0) , ${\boldsymbol {\mu }}\in \mathbb {R} ^{p}$ , i $Q\sim \chi _{\nu }^{2}$ , independent de ${\boldsymbol {Y}}$. Aleshores el vector aleatori

$${\boldsymbol {X}}={\frac {1}{\sqrt {Q/\nu }}}\,{\boldsymbol {Y}}+{\boldsymbol {\mu }}\qquad \qquad (3)$$

es diu que té una distribució $t$ multivariable amb $\nu$ graus de llibertat, amb paràmetres ${\boldsymbol {\mu }}$ i ${\boldsymbol {\Sigma }}$ (també es diu que ${\boldsymbol {\mu }}$ és el vector de posició i ${\boldsymbol {\Sigma }}$ el paràmetre d'escala ), i s'escriu ${\boldsymbol {X}}\sim {\boldsymbol {t}}_{p}(\nu ,{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$. La funció de densitat és

$$f_{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {x}})={\frac {\Gamma \left[(\nu +p)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\nu ^{p/2}\pi ^{p/2}{\sqrt {{\text{det}}\,{\boldsymbol {\Sigma }}}}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})\right]^{-(\nu +p)/2},\qquad \qquad (4)$$

on ${\text{det}}\,{\boldsymbol {\Sigma }}$ és el determinant de la matriu ${\boldsymbol {\Sigma }}$. Quan $p=1$, llavors s'obté una distribució $t$ amb tres paràmetres.

De les propietats de les distribucions normals multivariables

$${\boldsymbol {Y}}={\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}\,{\boldsymbol {Z}},\ {\text{en distribució}},$$

on ${\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}$ és l'arrel quadrada de la matriu ${\boldsymbol {\Sigma }}$, tindrem que

$${\boldsymbol {X}}={\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}{\boldsymbol {T}}+{\boldsymbol {\mu }},\ {\text{en distribució}}.\qquad \qquad (5)$$

D'on es dedueix l'expressió de la densitat (4) a partir de (2) mitjançant la formula de canvi de variables per a vectors aleatoris.

Es important remarcar que aquesta distribució pertany a la família de les distribucions amb simetria el·líptica

Propietats

La distribució $t$ multivariable comparteix amb la distribució normal multivariable diverses propietats importants.

Distribucions marginals

Sigui ${\boldsymbol {X}}\sim {\boldsymbol {t}}_{p}(\nu ,{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$. Aleshores qualsevol subvector també té una distribució $t$ multivariable. Més concretament, per $q=1,\dots ,p-1$ i (per simplificar les notacions) prenem ${\boldsymbol {X}}_{q}=(X_{1},\dots ,X_{q})^{\prime }$. Llavors ${\boldsymbol {X}}_{q}\sim {\boldsymbol {t}}_{q}(\nu ,{\boldsymbol {\mu }}_{q},{\boldsymbol {\Sigma }}_{qq})$, on ${\boldsymbol {\mu }}_{q}=(\mu _{1},\dots ,\mu _{q})$ i ${\boldsymbol {\Sigma }}_{qq}$ és la submatriu de ${\boldsymbol {\Sigma }}$ obtinguda eliminant les files $q+1,\dots ,p$ i les columnes $q+1,\dots ,p$. Aquesta propietat es dedueix de la representació (3) del vector ${\boldsymbol {X}}$.

Transformacions afins

Sigui ${\boldsymbol {X}}\sim {\boldsymbol {t}}_{p}(\nu ,{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$, ${\boldsymbol {B}}$ una matriu $p\times p$ definida positiva (en particular, simètrica) i ${\boldsymbol {b}}\in \mathbb {R} ^{p}$. Aleshores

$${\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {X}}+{\boldsymbol {b}}\sim {\boldsymbol {t}}_{p}(\nu ,{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {\mu }}+{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {B\Sigma B}}).$$

Aquesta propietat es dedueix de la representació (3) i de les propietats dels vectors normals multivariables.

Combinacions lineals de les components

Sigui ${\boldsymbol {X}}\sim {\boldsymbol {t}}_{p}(\nu ,{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$. Considerem una combinació lineal de les seves components

$$S={\boldsymbol {a}}'{\boldsymbol {X}}=\sum _{j=1}^{p}a_{j}X_{j},$$

on ${\boldsymbol {a}}=(a_{1},\dots ,a_{p})'$ . Aleshores

$$S\sim t(\nu ,{\boldsymbol {a}}'{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {a\Sigma }}{\boldsymbol {a}}'),$$

on aquesta última és una distribució $t$ de Student amb 3 paràmetres (graus de llibertat, paràmetre de posició i quadrat del paràmetre d'escala) .

Aquesta propietat també es demostra a partir de les propietats de la distribució normal multivariable.

Distribucions condicionades

Sigui ${\boldsymbol {X}}\sim {\boldsymbol {t}}_{p}(\nu ,{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ i separem-lo en dues parts ${\boldsymbol {X}}_{1}$ i ${\boldsymbol {X}}_{2}$ de dimensions $p_{1}$ i $p_{2}$ respectivament, amb $p_{1}+p_{2}=p$ ,

$${\boldsymbol {X}}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {X}}_{1}\\{\boldsymbol {X}}_{2}\end{pmatrix}}$$

Partim de la mateixa manera ${\boldsymbol {\mu }}$ ,

$${\boldsymbol {\mu }}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\mu }}_{1}\\{\boldsymbol {\mu }}_{2}\end{pmatrix}},$$

i la matriu ${\boldsymbol {\Sigma }}$ de la forma

$${\boldsymbol {\Sigma }}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\Sigma }}_{11}&{\boldsymbol {\Sigma }}_{12}\\{\boldsymbol {\Sigma }}_{21}&{\boldsymbol {\Sigma }}_{22}\end{pmatrix}}$$

Aleshores la distribució de ${\boldsymbol {X}}_{2}$ condicionada a ${\boldsymbol {X}}_{1}$ és una distribució $t$ multivariable:

$${\boldsymbol {X}}_{2}\,\vert \,{\boldsymbol {X}}_{1}\sim {\boldsymbol {t}}_{p_{2}}{\Big (}\nu +p_{1},\,{\boldsymbol {\mu }}_{2|1},\,{\frac {\nu +d_{1}}{\nu +p_{1}}}\,{\boldsymbol {\Sigma }}_{22|1}{\Big )},$$

on

$d_{1}=({\boldsymbol {X}}_{1}-{\boldsymbol {\mu }}_{1})^{\prime }{\boldsymbol {\Sigma }}_{11}^{-1}({\boldsymbol {X}}_{1}-{\boldsymbol {\mu }}_{1})$ és el quadrat de la distància de Mahalanobis de ${\boldsymbol {X}}_{1}$ a ${\boldsymbol {\mu }}_{1}$ amb matriu d'escala

${\boldsymbol {\Sigma }}_{11}$.

${\boldsymbol {\Sigma }}_{22|1}={\boldsymbol {\Sigma }}_{22}-{\boldsymbol {\Sigma }}_{21}{\boldsymbol {\Sigma }}_{11}^{-1}{\boldsymbol {\Sigma }}_{12}$ és el complement de Schur de la matriu ${\boldsymbol {\Sigma }}_{11}$ en ${\boldsymbol {\Sigma }}$.

${\boldsymbol {\mu }}_{2|1}={\boldsymbol {\mu }}_{2}+{\boldsymbol {\Sigma }}_{21}{\boldsymbol {\Sigma }}_{11}^{-1}({\boldsymbol {X}}_{1}-{\boldsymbol {\mu }}_{1})$ és la regressió lineal de ${\boldsymbol {X}}_{2}$ sobre ${\boldsymbol {X}}_{1}$.

Per a la demostració vegeu.

Convergència a la distribució normal multivariable

Quan $\nu \to \infty$, la distribució ${\boldsymbol {t}}_{p}(\nu ,{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ s'aproxima a una distribució normal multivariable ${\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$. Concretament, si ${\boldsymbol {X}}_{\nu }\sim {\boldsymbol {t}}_{p}(\nu ,{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ (suposem $\nu$ un nombre natural), i ${\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ llavors

$$\lim _{\nu \to \infty }{\boldsymbol {X}}_{\nu }={\boldsymbol {X}},\quad {\text{en distribució}}.$$

Aquesta propietat es demostra utilitzant la tècnica de Cramer-Wold, juntament amb la propietat que hem vist sobre les combinacions lineals de les components d'un vector amb distribució $t$ multivariable i la convergència de la distribució $t$ de Student a la distribució normal.

Moments

Sigui ${\boldsymbol {X}}\sim {\boldsymbol {t}}_{p}(\nu ,{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$. Les següents dues propietats es demostren a partir de la representació (3).

Esperança

Si $\nu >1$ , llavors el vector ${\boldsymbol {X}}$ té esperança i $E[{\boldsymbol {X}}]={\boldsymbol {\mu }}.$

Matriu de variàncies-covariàncies.

Si $\nu >2$, aleshores la matriu de variàncies-covariàncies del vector ${\boldsymbol {X}}$ és:

$${\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {X}})={\frac {\nu }{\nu -2}}\,{\boldsymbol {\Sigma }}.$$

Moments d'ordre superior.

Ens restringirem al cas que ${\boldsymbol {\mu }}={\boldsymbol {0}}$ i ${\boldsymbol {\Sigma }}={\boldsymbol {I}}_{p}$. Sigui ${\boldsymbol {T}}\sim {\boldsymbol {t}}_{p}(\nu ,{\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{p})$ i $n_{1}\geq 0,\dots ,n_{p}\geq 0$ nombres naturals tals que $n_{1}+\cdots +n_{p}=n<\nu$ . Aleshores

$$E{\big [}{\big \vert }T_{1}^{n_{1}}\cdots T_{p}^{n_{p}}{\big |}{\big ]}<\infty$$

i si $n_{1},\dots ,n_{p}$ són parells, aleshores

$$E{\big [}T_{1}^{n_{1}}\cdots T_{p}^{n_{p}}{\big ]}=\nu ^{n/2}{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {\nu -n}{2}}{\big )}}{2^{n/2}\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}\prod _{j=1}^{p}{\frac {n_{j}!}{2^{n_{j}/2}\,(n_{j}/2)!}}.$$

Si algun dels $n_{1},\dots ,n_{p}$ és senar, aleshores l'esperança anterior és 0.

Aquesta propietat es demostra a partir de la representació (1), de la independència de $Z_{1},\dots ,Z_{p}$ i $Q$, i les fórmules per als moments d'una distribució ${\mathcal {N}}(0,1)$ i dels d'una distribució khi quadrat.

Funció característica

La funció característica no té una expressió senzilla. Vegeu o.

Simulació

La definició constructiva d'una distribució t multivariant serveix simultàniament com a algorisme de mostreig:

1. Generar $u\sim \chi _{\nu }^{2}$ i $\mathbf {y} \sim N(\mathbf {0} ,{\boldsymbol {\Sigma }})$, independentment.
2. Calcular $\mathbf {x} \gets {\sqrt {\nu /u}}\mathbf {y} +{\boldsymbol {\mu }}$ .

Mixtura

Aquesta formulació dóna lloc a la representació jeràrquica d'una distribució t multivariant com una mixtura d'escala de normals: Si$u\sim \mathrm {Ga} (\nu /2,\nu /2)$ on $\mathrm {Ga} (a,b)$ indica una distribució gamma amb densitat proporcional a $x^{a-1}e^{-bx}$, i $\mathbf {x} \mid u$ condicionalment segueix $N({\boldsymbol {\mu }},u^{-1}{\boldsymbol {\Sigma }})$ .