Dodecàedre xato

En geometria, el dodecàedre xato és un dels tretze políedres arquimedians.

Dodecàedre xato

Model 3D
Tipus	políedre arquimedià, políedre uniforme i políedre xato
Forma de les cares	triangle equilàter (80) pentàgon regular (12)
Símbol de Schläfli	sr{5,3}
Dual	hexacontàedre pentagonal
Elements
Vèrtexs	60
Arestes	150
Cares	92
Més informació
MathWorld	SnubDodecahedron

Té 92 cares, 12 de les quals són pentagonals i 80 triangulars, 150 arestes i a cadascun dels seus 60 vèrtexs hi concorren una cara pentagonal i quatre cares triangulars.

Àrea i volum

Les fórmules per calcular l'àrea A i el volum V d'un dodecàedre xato tal que les seves arestes tenen longitud a són les següents:

${\begin{aligned}&A=a^{2}{\sqrt {15\left(95+6{\sqrt {5}}+8{\sqrt {15\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)}}\\&V=xa^{3}\\\end{aligned}}$

On x és l'arrel real positiva del polinomi:

${\begin{aligned}P\left(x\right)&=187.445.810.737.515.625-182.124.351.550.575.000x^{2}\\&+6.152.923.794.150.000x^{4}+1.030.526.618.040.000x^{6}\\&+162.223.191.936.000x^{8}-3.195.335.070.720x^{10}+2.176.782.336x^{12}\\\end{aligned}}$

Esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes

Els radis R, r i $\rho$ de les esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes respectivament són:

${\begin{aligned}&R=ax\\&P(x)=209-2.696x^{2}+13.872x^{2}-35.776x^{6}+47.104x^{8}-27.648x^{10}+4.096x^{12}\\&r=ax\\&P(x)=1-128x^{2}+6.384x^{4}-149.376x^{6}+1.443.072x^{8}-3.900.416x^{10}+856.064x^{12}\\&\rho =ax\\&P\left(x\right)=1-40x^{2}+624x^{4}-4.672x^{6}+16.384x^{8}-21.504x^{10}+4.096x^{12}\\\end{aligned}}$

On a cada expressió, x és l'arrel real positiva del polinomi que es presenta a continuació. On a és la longitud de les arestes.

Dualitat

El políedre dual del dodecàedre xato és l'hexacontàedre pentagonal.

Desenvolupament pla

Desenvolupament pla del dodecàedre xato

Políedres relacionats

El dodecàedre xato es pot obtenir a partir del dodecàedre expandint les 12 cares pentagonals i llavors girant-les lleugerament fins que l'espai entre ells es pugui omplir amb corones de triangles equilàters.

Dodecàedre

Dodecàedre expandit rombicosidodecàedre

Dodecàedre xato

Quiralitat

El dodecàedre xato és un políedre quiral: es presenta en dues formes que són mútuament la imatge especular l'una de l'altre. L'únic altre polígon arquimedià quiral és el cub xato.

Vegeu també

• Políedre arquimedià
• Políedre de Catalan
• Políedre regular
• Sòlid platònic
• Sòlid de Johnson

Bibliografia

• H. M. Cundy & A. P. Rollett. I modelli matematici. Milà: Feltrinelli, 1974. 

• Dedò, Maria. Forme, simmetria e topologia. Bolonya: Decibel & Zanichelli, 1999. ISBN 88-08-09615-7. 

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Dodecàedre xato

• Políedres I Arxivat 2009-05-09 a Wayback Machine. Pàgina 13
• Políedres arquimedians Arxivat 2008-08-27 a Wayback Machine.
• Paper models of Archimedean solids