Dodecadodecàedre truncat

Dodecadodecàedre truncat
	Model 3D
Tipus	políedre estelat uniforme
Forma de les cares	quadrat (30); decàgon regular (12); decagrama (12)
Configuració de vèrtex	triangle
Dual	triacontàedre disdyakis medial
Elements
Vèrtexs	120;
Arestes	180;
Cares	54
Més informació
MathWorld	TruncatedDodecadodecahedron

En geometria, el dodecadodecàedre truncat és un políedre uniforme no convex indexat com a U₅₉. Té un símbol de Schläfli t_0,1,2{5/3,5}. Té 120 vèrtexs i 54 cares: 30 quadrats, 12 decàgons i 12 decagrames. La regió central del políedre està connectada amb l'exterior mitjançant 20 petits forats triangulars.

El terme dodecadodecàedre truncat pots er una mica confús: la truncació del dodecadodecàedre produiria cares rectangulars i no pas quadrades, i les cares en forma de pentagrama del dodecàedre es convertirien en pentagrames truncats i no pas en decagrames. Tanmateix, es tracta de la quasitruncació del dodecadodecàedre, segons Coxeter, Longuet-Higgins & Miller (1954).^[1] Per aquesta raó, també se'l coneix com a dodecadodecàedre quasitruncat.^[2] Coxeter et al. acrediten el seu descobriment a un article publicat pel matemàtic austríac Johann Pitsch el 1881.^[3]

Coordenades cartesianes modifica

Les cordenades cartesianes dels vèrtexs d'un dodecadodecàedre truncat són totes les tripletes de nombres obtinguts per intercanvis circulars i canvis de signes dels punts següents (on $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ és la raó àuria):

(1,1,3);\quad ({\frac {1}{\varphi }},{\frac {1}{\varphi ^{2}}},2\varphi );\quad (\varphi ,{\frac {2}{\varphi }},\varphi ^{2});\quad (\varphi ^{2},{\frac {1}{\varphi ^{2}}},2);\quad (2\varphi -1,1,2\varphi -1).

Cadascun d'aquests cinc punts té vuit possibles patrons de signe i tres possibles intercanvis circulars, la qual cosa dona 120 punts diferents.

Referències modifica

↑ Coxeter, H. S. M.; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. «Uniform polyhedra». Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 246, 1954, p. 401–450. DOI: 10.1098/rsta.1954.0003.. Vegeu específicament la descripció de la quasitruncació a la pàgina 411 i la fotografia d'un model del seu esquelet a la Fig. 114, Capítol IV.
↑ Wenninger escriu dodecàedre quasitruncat, però sembla tractar-se d'un error. Wenninger, Magnus J. Polyhedron Models. Cambridge University Press, 1971, p. 152–153. «98 Quasitruncated dodecahedron»
↑ Pitsch, Johann «Über halbreguläre Sternpolyeder». Zeitschrift für das Realschulwesen, 6, 1881, p. 9–24, 72–89, 216.. Segons Coxeter, Longuet-Higgins & Miller (1954), el dodecadodecàedre truncat apareix com a núm. XII a la p.86.

Bibliografia modifica

Wenninger, Magnus. Dual Models. Cambridge University Press, 1983. DOI 10.1017/CBO9780511569371. ISBN 978-0-521-54325-5.

Vegeu també modifica

Llista de políedres uniformes

Enllaços externs modifica

Weisstein, Eric W., «Truncated dodecadodecahedron» a MathWorld (en anglès).

[1] Coxeter, H. S. M.; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. «Uniform polyhedra». Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 246, 1954, p. 401–450. DOI: 10.1098/rsta.1954.0003.. Vegeu específicament la descripció de la quasitruncació a la pàgina 411 i la fotografia d'un model del seu esquelet a la Fig. 114, Capítol IV.

[2] Wenninger escriu dodecàedre quasitruncat, però sembla tractar-se d'un error. Wenninger, Magnus J. Polyhedron Models. Cambridge University Press, 1971, p. 152–153. «98 Quasitruncated dodecahedron»

[3] Pitsch, Johann «Über halbreguläre Sternpolyeder». Zeitschrift für das Realschulwesen, 6, 1881, p. 9–24, 72–89, 216.. Segons Coxeter, Longuet-Higgins & Miller (1954), el dodecadodecàedre truncat apareix com a núm. XII a la p.86.

[1]

[2]

[3]