Element invers

En matemàtiques, l'invers (també anomenat simètric) d'un element x dins d'un conjunt proveït d'una llei de composició interna amb element neutre (A, * ), és un element y de A tal que x * y = y * x = e, on e és l'element neutre de l'operació * en A. Diem aleshores que x és un element invertible. Quan l'operació és la suma se sol parlar d'element oposat en lloc d'invers, i el representem per −x. Quan l'operació és el producte se sol parlar de recíproc i es representa per $x^{-1}$ o $\scriptstyle {\frac {1}{x}}$.

Per exemple, el recíproc (invers multiplicatiu) de 2 en el conjunt dels nombres racionals és 1/2 o 0,5 mentre que l'oposat (invers additiu) és −2. El recíproc i l'oposat de la unitat imaginària i és −i, ja que i·(−i) = 1; i − i = 0.

Invers en un grupoide unitari

Quan l'operació no és commutativa cal distingir entre element invers per l'esquerra i invers per la dreta. Sigui x un element del grupoide unitari $(A,*)$, i e l'element neutre de l'operació $*$ a A.

• Si existeix un element ${\overrightarrow {x}}:A$ tal que ${\overrightarrow {x}}*x=e$, direm que x és invertible per l'esquerra i que ${\overrightarrow {x}}$ és l'invers per l'esquerra de x. Un element invertible per l'esquerra és simplificable per l'esquerra.
• Si existeix un element ${\overleftarrow {x}}:A$tal que $x*{\overleftarrow {x}}=e$, direm que x és invertible per la dreta i que ${\overleftarrow {x}}$ és l'invers per la dreta de x. Un element invertible per la dreta és simplificable per la dreta.
• Si un element és invetible per l'esquerra i per la dreta, i els seus inversos són iguals, diem que és invertible bilateral o simplement invertible: $x*{\bar {x}}={\bar {x}}*x=e$. En aquest cas el parell $x$ i ${\bar {x}}$ commuten. Un element invertible és simplificable.

Un element x pot tenir més d'un invers per l'esquerra i/o per la dreta. Noteu que, en general, si existeixen inversos per l'esquerra i per la dreta, aquests no tenen per què ser iguals: ${\overrightarrow {x}}\neq {\overleftarrow {x}}$. Però, si la llei de composició és associativa, aleshores l'invers per la dreta és igual a l'invers per l'esquerra, i a més a més, únic.

Invers en un semigrup

El concepte d'invers és generalitzable a estructures sense element neutre, sempre que mantinguem l'associativitat. Primer, definim el concepte de regularitat. Segons von Neumann, un element x d'un semigrup $(S,*)$ és regular si existeix un altre element y en S tal que $x*y*x=x$. Direm aleshores que y és un pseudoinvers de x. Direm, en canvi, que y és un invers de x si $x*y*x=x$ i a més $y=y*x*y$. Noteu que, si existeix, l'invers no és necessàriament únic.

• Tot element regular té almenys un invers. Si $x=x*z*x$ aleshores $y=z*x*z$ és un invers de x en el sentit a dalt definit.
• Si y és un invers de x, aleshores $e=x*y$ i $f=y*x$ són elements idempotents: $e*e=e$, $f*f=f$. Per tant, tota parella d'elements mútuament inversos genera una parella d'elements idempotents, i $e*x=x*f=x$, $y*e=f*y=y$, és a dir, e actua com a identitat per l'esquerra per a x, mentre que f actua com a identitat per la dreta, amb els papers intercanviats en el cas de y. Tota parella d'inversos mutus, genera doncs, un element neutre local per l'esquerra i un element neutre local per la dreta.

Vegeu també

• Element neutre
• Element invertible