Endomorfisme de Frobenius

En àlgebra commutativa i teoria de cossos l'endomorfisme de Frobenius és un endomorfisme d'anells de característica un nombre primer. En certs contextos és un automorfisme, però aquest fet no és cert en general.

Retrat de Georg Frobenius, del quan en pren el nom.

Sigui R un anell commutatiu de característica un nombre primer p (la característica és sempre un nombre primer quan R és un domini d'integritat, per exemple). L'endomorfisme de Frobenius F es defineix com

F(r)=r^p

per a tot r de R. Es pot veure com aquesta aplicació respecta la multiplicació d'elements de R: F(rs)=(rs)^p = r^ps^p així com la suma en R. L'expressió (r + s)^p pot ser desenvolupada fent servir el teorema del binomi, i com que p és primer, els coeficients de tots els termes excepte r^p i s^p són divisibles per p, la característica, pel que són iguals a zero. Finalment veiem que clarament F(1)=1, pel que acabem de demostrar que F és un homomorfisme d'anells.

En general, F no és un automorfisme. Per exemple, sigui K el cos F_p(t), és a dir, un cos finit amb p elements junt amb un sol element transcendent. Podem afirmar que la imatge de F no conté t. Demostrarem aquest fet per contradicció: Suposem que existeix un element de K la imatge del qual en aplicar-li F és t. Aquest element és una funció racional q(t)/r(t) la potència p-èsima del qual (q(t)/r(t))^p és igual a t. Això implica que p(deg q - deg r) = 1, la qual cosa és impossible. Per el que F no és exhaustiva (suprajectiva) i per tant no és un automorfisme. Fins i tot és possible que F no sigui injectiva. Això succeeix si i només si R té un element nilpotent d'ordre inferior o igual a p.

Punts fixos en l'endomorfisme de Frobenius

Sigui R un domini d'integritat. L'aplicació de Frobenius deixa fixos tots els elements de R que satisfan l'equació x^p = x. Aquestes són totes les arrels de l'equació x^p - x, i com que aquesta equació té grau p, hi ha com a molt p arrels. Aquests són exactament els elements 0, 1, 2, ..., p - 1, de manera que el conjunt de punts fixos de F defineixen un cos primer.

Iterant l'aplicació de Frobenius obtenim una seqüència d'elements de R:

$x,x^{p},x^{p^{2}},x^{p^{3}},\ldots$

Aplicant iterativament e vegades F a un anell que contingui un cos K de p^e elements s'obté un conjunt de punts fixos igual a K, similar a l'exemple anterior. Els iterats de l'aplicació de Frobenius es fan servir per a definir la clausura de Frobenius i la clausura estricta d'un ideal.

Frobenius per a cossos finits

Sigui F_q el cos finit de q elements, on q=p^e. F deixa fix F_p amb aquest argument. Si q=2, aleshores F², la segona iteració de Frobenius, deixa fixos p² elements, pel que deixa fix ${\mathbf {F} }_{p^{2}}$. En general, F^e deixa fix ${\mathbf {F} }_{p^{e}}$. A més a més, F genera el Grup de Galois de qualsevol extensió de cossos finits.