Forma normal negativa

En lògica matemàtica, una fórmula és en forma normal negativa si l'operador negació ($\lnot$, not) només està aplicat a variables, i els únics altres operadors booleans permesos són la conjunció ($\land$, and) i la disjunció ($\lor$, or).

La forma normal negativa no és una forma canònica: per exemple $a\land (b\lor \lnot c)$ i $(a\land b)\lor (a\land \lnot c)$ són equivalents, i totes dues estan en forma normal negativa.

En lògica clàssica i el moltes lògiques modals, tota fórmula pot transformar-se en aquesta forma, tot substituint implicacions i equivalències per llurs definicions, usant les Lleis de De Morgan per desplaçar les negacions cap a l'interior de la fórmula, i eliminant dobles negacions. Aquest procés es pot representar mitjançant les següents regles de reescriptura:

$\lnot (\forall x.G)\to \exists x.\lnot G$

$\lnot (\exists x.G)\to \forall x.\lnot G$

$\lnot \lnot G\to G$

$\lnot (G_{1}\land G_{2})\to (\lnot G_{1})\lor (\lnot G_{2})$

$\lnot (G_{1}\lor G_{2})\to (\lnot G_{1})\land (\lnot G_{2})$

Una fórmula en forma normal negativa es pot transformar en les formes normal conjuntiva o normal disjuntiva tot aplicant distributivitat.

Exemples i contraexemples

Totes les fórmules següents estan en forma normal negativa:

$(A\vee B)\wedge C$

$(A\wedge (\lnot B\vee C)\wedge \lnot C)\vee D$

$A\vee \lnot B$

$A\wedge \lnot B$

El primer exemple també està en forma normal conjuntiva, i els dos últims estan alhora en forma normal conjuntiva i en forma normal disjuntiva, però el segon exemple no està en cap d'aquestes dues formes.

Les fórmules següents no estan en forma normal negativa:

$A\Rightarrow B$

$\lnot (A\vee B)$

$\lnot (A\wedge B)$

$\lnot (A\vee \lnot C)$

Tot i això, són equivalents (respectivament) a les següents fórmules en forma normal negativa:

$\lnot A\vee B$

$\lnot A\wedge \lnot B$

$\lnot A\vee \lnot B$

$\lnot A\wedge C$

Referències

• Robinson, Alan J.A.; Voronkov, Andrei. Handbook of automated reasoning. reprinted. Amsterdam: North Holland, 2001, p. 203 i següents. ISBN 0444829490. 

Enllaços externs

• Cálculo de la forma normal negativa a Lógica informática (2011–12) (castellà)