La fórmula de d'Alembert és la solució general de l'equació d'ona unidimensional homogènia, una equació en derivades parcials hiperbòlica . Va ser deduïda pel matemàtic Jean le Rond d'Alembert .
[No s'ha de confondre amb l'Equació de d'Alembert , del mateix autor, que és una equació diferencial ordinària no lineal de primer ordre.]
Donada l'equació d'ona unidimensional homogènia
u
t
t
−
c
2
u
x
x
=
0
,
{\displaystyle u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0,}
la fórmula de d'Alembert té expressió:
u
(
x
,
t
)
=
1
2
[
g
(
x
−
c
t
)
+
g
(
x
+
c
t
)
]
+
1
2
c
∫
x
−
c
t
x
+
c
t
h
(
ξ
)
d
ξ
,
{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[g(x-ct)+g(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(\xi )d\xi ,}
on g i h són funcions escalars a escollir. Les possibles tries d'aquestes funcions permeten obtenir les diferents solucions de l'equació d'ones. Tanmateix, no qualsevol tria de g i h condueix a una solució. Per exemple, si g no és diferenciable, és probable que la funció u(x,t) donada per la fórmula tampoc ho sigui, i llavors l'equació d'ona deixa de tenir sentit. Una condició suficient perquè la funció donada per la fórmula de d'Alembert sigui solució de l'equació d'ona és que
g
∈
C
2
{\displaystyle g\in C^{2}}
h
∈
C
1
{\displaystyle h\in C^{1}}
classe de diferenciabilitat
S'obté com a solució del problema de Cauchy :
{
u
t
t
−
c
2
u
x
x
=
0
on
x
∈
R
,
t
>
0
u
(
x
,
0
)
=
g
(
x
)
on
x
∈
R
u
t
(
x
,
0
)
=
h
(
x
)
on
x
∈
R
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0&{\text{on }}x\in \mathbb {R} ,t>0\\u(x,0)=g(x)&{\text{on }}x\in \mathbb {R} \\u_{t}(x,0)=h(x)&{\text{on }}x\in \mathbb {R} \end{matrix}}\right.}
amb g i h arbitràries.
Les corbes característiques de l'equació en derivades parcials són les rectes
x
±
c
t
=
c
o
n
s
t
{\displaystyle x\pm ct=\mathrm {const} \,}
μ
=
x
+
c
t
,
η
=
x
−
c
t
{\displaystyle \mu =x+ct,\eta =x-ct\,}
u
μ
η
=
0
{\displaystyle u_{\mu \eta }=0\,}
u
(
μ
,
η
)
=
F
(
μ
)
+
G
(
η
)
{\displaystyle u(\mu ,\eta )=F(\mu )+G(\eta )\,}
F
{\displaystyle F\,}
G
{\displaystyle G\,}
C
1
{\displaystyle C^{1}\,}
x
,
t
{\displaystyle x,t\,}
u
(
x
,
t
)
=
F
(
x
+
c
t
)
+
G
(
x
−
c
t
)
{\displaystyle u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)\,}
u
{\displaystyle u\,}
C
2
{\displaystyle C^{2}\,}
F
{\displaystyle F\,}
G
{\displaystyle G\,}
C
2
{\displaystyle C^{2}\,}
Aquesta solució
u
{\displaystyle u\,}
c
{\displaystyle c\,}
A continuació es considera aquesta solució amb la condició de frontera de Cauchy
u
(
x
,
0
)
=
g
(
x
)
,
u
t
(
x
,
0
)
=
h
(
x
)
{\displaystyle u(x,0)=g(x),u_{t}(x,0)=h(x)\,}
Usant
u
(
x
,
0
)
=
g
(
x
)
{\displaystyle u(x,0)=g(x)\,}
F
(
x
)
+
G
(
x
)
=
g
(
x
)
{\displaystyle F(x)+G(x)=g(x)\,}
Usant
u
t
(
x
,
0
)
=
h
(
x
)
{\displaystyle u_{t}(x,0)=h(x)\,}
c
F
′
(
x
)
−
c
G
′
(
x
)
=
h
(
x
)
{\displaystyle cF'(x)-cG'(x)=h(x)\,}
Integrant l'última equació s'aconsegueix
c
F
(
x
)
−
c
G
(
x
)
=
∫
−
∞
x
h
(
ξ
)
d
ξ
+
c
1
{\displaystyle cF(x)-cG(x)=\int _{-\infty }^{x}h(\xi )d\xi +c_{1}\,}
Les solucions del sistema d'equacions format per les equacions última i antepenúltima són
F
(
x
)
=
−
1
2
c
(
−
c
g
(
x
)
−
(
∫
−
∞
x
h
(
ξ
)
d
ξ
+
c
1
)
)
{\displaystyle F(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)-\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )d\xi +c_{1}\right)\right)\,}
G
(
x
)
=
−
1
2
c
(
−
c
g
(
x
)
+
(
∫
−
∞
x
h
(
ξ
)
d
ξ
+
c
1
)
)
{\displaystyle G(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)+\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )d\xi +c_{1}\right)\right)\,}
Ara, usant
u
(
x
,
t
)
=
F
(
x
+
c
t
)
+
G
(
x
−
c
t
)
{\displaystyle u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)\,}
la fórmula de d'Alembert esdevé:
u
(
x
,
t
)
=
1
2
[
g
(
x
−
c
t
)
+
g
(
x
+
c
t
)
]
+
1
2
c
∫
x
−
c
t
x
+
c
t
h
(
ξ
)
d
ξ
{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[g(x-ct)+g(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(\xi )d\xi }
Chester, C.. Techniques in Partial Differential Equations (en anglès). McGraw-Hill, 1971. Capítol 2. Enllaços externs
modifica
![{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[g(x-ct)+g(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(\xi )d\xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc7a7c289f0b6fda8f0f6d5d59af81293d1cde1)
![{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[g(x-ct)+g(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(\xi )d\xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c622256944cfec3500d04863f51aaec4a5a034d)