Funció H de Chandrasekhar

En la radiació atmosfèrica, la funció H de Chandrasekhar (també coneguda com a funció H d'Ambartsumian o funció H de Busbridge) apareix com la solució de problemes relacionats amb la dispersió, introduïda per l'astrofísic indi estatunidenc Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995). La funció H de Chandrasekhar $H(\mu )$ definida a l'interval $0\leq \mu \leq 1$, satisfà la següent equació integral no-lineal

La funció H de Chandrasekhar per a diferents albedos

$H(\mu )=1+\mu H(\mu )\int _{0}^{1}{\frac {\Psi (\mu ')}{\mu +\mu '}}H(\mu ')\,d\mu '$

on la funció característica $\Psi (\mu )$ és un polinomi parcial en $\mu$ que compleix la següent condició

$\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\,d\mu \leq {\frac {1}{2}}$.

Si la igualtat es compleix en la condició anterior s'anomena cas conservador, altrament no-conservador. L'albedo és donat per $\omega _{o}=2\Psi (\mu )={\text{constant}}$. Chandrasekhar va obtenir una forma alternativa que és més útil per calcular numèricament la funció H, derivant per iteració de la següent manera:

${\frac {1}{H(\mu )}}=\left[1-2\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\,d\mu \right]^{1/2}+\int _{0}^{1}{\frac {\mu '\Psi (\mu ')}{\mu +\mu '}}H(\mu ')\,d\mu '$.

En el cas conservador, l'equació anterior es redueix a:

${\frac {1}{H(\mu )}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mu '\Psi (\mu ')}{\mu +\mu '}}H(\mu ')d\mu '$.

Aproximació

La funció H es pot aproximar fins a un ordre $n$:

$H(\mu )={\frac {1}{\mu _{1}\cdots \mu _{n}}}{\frac {\prod _{i=0}^{n}(\mu +\mu _{i})}{\prod _{\alpha }(1+k_{\alpha }\mu )}}$

on $\mu _{i}$ són els zeros dels polinomis de Legendre $P_{2n}$ i $k_{\alpha }$ són les arrels positives i no desaparegudes de l'equació característica associada

$1=2\sum _{j=1}^{n}{\frac {a_{j}\Psi (\mu _{j})}{1-k^{2}\mu _{j}^{2}}}$

on $a_{j}$ són els pesos de quadratura donats per

$a_{j}={\frac {1}{P_{2n}'(\mu _{j})}}\int _{-1}^{1}{\frac {P_{2n}(\mu _{j})}{\mu -\mu _{j}}}\,d\mu _{j}$

Solució explícita al pla complex

En variable complexa $z$, les equacions H són:

$H(z)=1-\int _{0}^{1}{\frac {z}{z+\mu }}H(\mu )\Psi (\mu )\,d\mu ,\quad \int _{0}^{1}|\Psi (\mu )|\,d\mu \leq {\frac {1}{2}},\quad \int _{0}^{\delta }|\Psi (\mu )|\,d\mu \rightarrow 0,\ \delta \rightarrow 0$

llavors per $\Re (z)>0$, una solució única ve donada per

$\ln H(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{+i\infty }\ln T(w){\frac {z}{w^{2}-z^{2}}}\,dw$

on la part imaginària de la funció $T(z)$ pot desaparèixer si $z^{2}$ és real; per exemple, $z^{2}=u+iv=u\ (v=0)$. Llavors s'obté

$T(z)=1-2\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\,d\mu -2\int _{0}^{1}{\frac {\mu ^{2}\Psi (\mu )}{u-\mu ^{2}}}\,d\mu$

La solució anterior és única i està delimitada en l'interval $0\leq z\leq 1$ per a casos conservadors. En casos no-conservadors, si l'equació $T(z)=0$ admet les arrels $\pm 1/k$, hi ha una altra solució:

$H_{1}(z)=H(z){\frac {1+kz}{1-kz}}$

Propietats

• $\int _{0}^{1}H(\mu )\Psi (\mu )\,d\mu =1-\left[1-2\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\,d\mu \right]^{1/2}$. Per als casos conservadors, això es redueix a $\int _{0}^{1}\Psi (\mu )d\mu ={\frac {1}{2}}$.
• $\left[1-2\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\,d\mu \right]^{1/2}\int _{0}^{1}H(\mu )\Psi (\mu )\mu ^{2}\,d\mu +{\frac {1}{2}}\left[\int _{0}^{1}H(\mu )\Psi (\mu )\mu \,d\mu \right]^{2}=\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\mu ^{2}\,d\mu$. Per als casos conservadors, això es redueix a $\int _{0}^{1}H(\mu )\Psi (\mu )\mu d\mu =\left[2\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\mu ^{2}d\mu \right]^{1/2}$.
• Si la funció característica és $\Psi (\mu )=a+b\mu ^{2}$, on $a,b$ són dues constants (s'han de satisfer $a+b/3\leq 1/2$) i si $\alpha _{n}=\int _{0}^{1}H(\mu )\mu ^{n}\,d\mu ,\ n\geq 1$ és el n-èsim moment de la funció H, llavors tenim

$\alpha _{0}=1+{\frac {1}{2}}(a\alpha _{0}^{2}+b\alpha _{1}^{2})$

i

$(a+b\mu ^{2})\int _{0}^{1}{\frac {H(\mu ')}{\mu +\mu '}}\,d\mu '={\frac {H(\mu )-1}{\mu H(\mu )}}-b(\alpha _{1}-\mu \alpha _{0})$

Vegeu també

• Funció X i Y de Chandrasekhar

Enllaços externs

• Funció MATLAB per calcular la funció H (anglès)