En matemàtiques , la funció beta , també anomenada funció beta d'Euler o integral d'Euler de primera classe , és un tipus d'integral d'Euler definida, per a dos nombres complexos
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
parts reals estrictament positives (
R
e
(
x
)
>
0
,
R
e
(
y
)
>
0
{\displaystyle \mathrm {Re} (x)>0,\ \mathrm {Re} (y)>0}
Isolínia de la funció beta
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
1
t
x
−
1
(
1
−
t
)
y
−
1
d
t
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt}
La funció beta va ser estudiada per Euler i Legendre , però va ser Jacques Binet qui li va posar el nom; el símbol, Β , és una beta majúscula grega , que és semblant a la majúscula llatina B .
Es relaciona amb la funció gamma d'Euler .
B
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}
També hi ha una versió de la funció beta incompleta (la funció beta incompleta) i una versió regularitzada de la mateixa (la funció beta incompleta regularitzada ).
Una gràfica de la funció beta per a x i y positius Donada una funció f , moltes vegades és útil expressar f (x +y) en termes de f (x) i f (y) . Per exemple, per l'exponencial es té
e
x
+
y
=
e
x
e
y
.
{\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\,e^{y}.}
Aquesta anàlisi, aplicat a la funció gamma, condueix a la definició de la funció beta. Per
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
R
e
(
x
)
>
0
,
R
e
(
y
)
>
0
{\displaystyle \mathrm {Re} (x)>0,\ \mathrm {Re} (y)>0}
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
{\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)}
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
∫
0
∞
s
x
−
1
e
−
s
d
s
∫
0
∞
t
y
−
1
e
−
t
d
t
=
∫
0
∞
∫
0
∞
s
x
−
1
t
y
−
1
e
−
s
−
t
d
s
d
t
{\displaystyle \Gamma (x)\,\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }s^{x-1}\,e^{-s}\,ds\,\int _{0}^{\infty }t^{y-1}\,e^{-t}\,dt=\int _{0}^{\infty }\!\!\!\int _{0}^{\infty }s^{x-1}t^{y-1}\,e^{-s-t}\,ds\,dt}
Per escriure aquesta integral doble en coordenades polars , fem primer el canvi de variables
s
=
u
2
{\displaystyle s=u^{2}}
t
=
v
2
{\displaystyle t=v^{2}}
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
4
∫
0
∞
∫
0
∞
u
2
x
−
1
v
2
y
−
1
e
−
(
u
2
+
v
2
)
d
u
d
v
.
{\displaystyle \Gamma (x)\,\Gamma (y)=4\int _{0}^{\infty }\!\!\!\int _{0}^{\infty }u^{2x-1}v^{2y-1}\,e^{-(u^{2}+v^{2})}\,du\,dv.}
Passant a coordenades polars
u
=
r
cos
θ
{\displaystyle u=r\cos \theta }
v
=
r
sin
θ
{\displaystyle v=r\sin \theta }
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
4
∫
0
∞
∫
0
π
/
2
r
2
(
x
+
y
−
1
)
e
−
r
2
cos
2
x
−
1
(
θ
)
sin
2
y
−
1
(
θ
)
r
d
r
d
θ
{\displaystyle \Gamma (x)\,\Gamma (y)=4\,\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\pi /2}r^{2(x+y-1)}e^{-r^{2}}\cos ^{2x-1}(\theta )\sin ^{2y-1}(\theta )\,r\,dr\,d\theta }
Fent
t
=
r
2
{\displaystyle t=r^{2}}
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
2
∫
0
∞
t
x
+
y
−
1
e
−
t
d
t
∫
0
π
/
2
cos
2
x
−
1
(
θ
)
sin
2
y
−
1
(
θ
)
d
θ
=
2
Γ
(
x
+
y
)
∫
0
π
/
2
cos
2
x
−
1
(
θ
)
sin
2
y
−
1
(
θ
)
d
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\,\Gamma (y)&=2\,\int _{0}^{\infty }t^{x+y-1}e^{-t}\,dt\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2x-1}(\theta )\sin ^{2y-1}(\theta )\,d\theta \\&=2\Gamma (x+y)\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2x-1}(\theta )\sin ^{2y-1}(\theta )\,d\theta \end{aligned}}}
Definint la funció beta
B
(
x
,
y
)
=
2
∫
0
π
/
2
cos
2
x
−
1
(
θ
)
sin
2
y
−
1
(
θ
)
d
θ
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2x-1}(\theta )\sin ^{2y-1}(\theta )\,d\theta ,}
s'obté
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
Γ
(
x
+
y
)
B
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\Gamma (x+y)\,\mathrm {B} (x,y).}
La funció beta és simètrica , el que significa que
B
(
x
,
y
)
=
B
(
y
,
x
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x).}
Una propietat fonamental de la funció beta és la seva relació amb la funció gamma; la prova es dona a continuació, en la secció sobre la relació entre la funció gamma i funció beta
B
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}
Quan
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
nombres enters positius , es desprèn de la definició de la funció gamma Γ que:
B
(
x
,
y
)
=
(
x
−
1
)
!
(
y
−
1
)
!
(
x
+
y
−
1
)
!
B
(
x
,
y
)
=
2
∫
0
π
/
2
(
sin
θ
)
2
x
−
1
(
cos
θ
)
2
y
−
1
d
θ
,
R
e
(
x
)
>
0
,
R
e
(
y
)
>
0
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
(
1
+
t
)
x
+
y
d
t
,
R
e
(
x
)
>
0
,
R
e
(
y
)
>
0
B
(
x
,
y
)
=
∑
n
=
0
∞
(
n
−
y
n
)
x
+
n
,
B
(
x
,
y
)
=
x
+
y
x
y
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
y
n
(
x
+
y
+
n
)
)
−
1
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (x,y)&={\dfrac {(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}}\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,d\theta ,&&\mathrm {Re} (x)>0,\ \mathrm {Re} (y)>0\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,&&\mathrm {Re} (x)>0,\ \mathrm {Re} (y)>0\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {n-y}{n}}{x+n}},\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},\end{aligned}}}
La funció beta satisfà diverses identitats interessants, incloent:
B
(
x
,
y
)
=
B
(
x
,
y
+
1
)
+
B
(
x
+
1
,
y
)
,
B
(
x
+
1
,
y
)
=
B
(
x
,
y
)
⋅
x
x
+
y
,
B
(
x
,
y
+
1
)
=
B
(
x
,
y
)
⋅
y
x
+
y
,
B
(
x
,
1
−
x
)
=
π
sin
(
π
x
)
,
x
∉
Z
,
B
(
x
,
y
)
⋅
B
(
x
+
y
,
1
−
y
)
=
π
x
sin
(
π
y
)
,
B
(
x
,
y
)
⋅
(
t
↦
t
+
x
+
y
−
1
)
=
(
t
→
t
+
x
−
1
)
∗
(
t
→
t
+
y
−
1
)
,
x
≥
1
,
y
≥
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y),\\[6pt]&\mathrm {B} (x+1,y)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {x}{x+y}},\\[6pt]&\mathrm {B} (x,y+1)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {y}{x+y}},\\[6pt]&\mathrm {B} (x,1-x)={\frac {\pi }{\sin(\pi x)}},\quad x\not \in \mathbb {Z} ,\\[6pt]&\mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}},\\[6pt]&\mathrm {B} (x,y)\cdot \left(t\mapsto t_{+}^{x+y-1}\right)={\Big (}t\to t_{+}^{x-1}{\Big )}*{\Big (}t\to t_{+}^{y-1}{\Big )},\quad x\geq 1,y\geq 1.\end{aligned}}}
on t ↦ t x funció exponencial truncada , i
∗
{\displaystyle *}
convolució .
La identitat relativa a
B
(
x
,
1
−
x
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,1-x)}
Γ
(
1
2
)
=
π
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}
trigonomètrica , es pot aplicar al derivar el volum d'una n-esfera en coordenades cartesianes .
La integral d'Euler integral de la funció beta pot ser convertida en una integral C contorn de Pochhammer com
(
1
−
e
2
π
i
α
)
(
1
−
e
2
π
i
β
)
B
(
α
,
β
)
=
∫
C
t
α
−
1
(
1
−
t
)
β
−
1
d
t
.
{\displaystyle \left(1-e^{2\pi i\alpha }\right)\left(1-e^{2\pi i\beta }\right)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{C}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt.}
Aquesta integral del contorn de Pochhammer convergeix per a tots els valors de α i β , i així dona la continuació analítica de la funció beta.
De la mateixa manera que la funció gamma per a enters descriu factorials , la funció beta pot definir un coeficient binomial després d'ajustar els índexs:
(
n
k
)
=
1
(
n
+
1
)
B
(
n
−
k
+
1
,
k
+
1
)
.
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.}
Si
x
{\displaystyle x}
y són nombres enters positius, aquesta equació pot reescriure en termes de factorials o coeficient binomial:
x
+
y
x
y
B
(
x
,
y
)
=
(
x
+
y
)
!
x
!
y
!
=
(
x
+
y
x
)
.
{\displaystyle {\frac {x+y}{xy\mathrm {B} (x,y)}}={\frac {(x+y)!}{x!~y!}}={x+y \choose x}.}
D'altra banda, per al sencer n , Β pot ser un factor per donar una forma tancada, una funció d'interpolació per a valors continus de k :
(
n
k
)
=
(
−
1
)
n
n
!
⋅
sin
(
π
k
)
π
∏
i
=
0
n
(
k
−
i
)
.
{\displaystyle {\binom {n}{k}}=(-1)^{n}\,n!\cdot {\frac {\sin(\pi k)}{\pi \displaystyle \prod _{i=0}^{n}(k-i)}}.}
Si
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
racionals i si
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
+
y
{\displaystyle y}
Β (x, y) és un nombre transcendent .
La funció beta va ser la primera amplitud de dispersió coneguda en la teoria de cordes , conjecturada per primera vegada per Gabriele Veneziano . També es presenta en la teoria del procés de connexió preferencial , un tipus de procés d'urna estocàstic.
Relació entre la funció gamma i funció beta
modifica
Una simple derivació de la relació es pot trobar en el llibre d'Emil Artin The Gamma Function , pàgina 18-19.[3]
Per a derivar la representació integral de la funció beta, s'escriu el producte de dos factorials com
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
∫
u
=
0
∞
e
−
u
u
x
−
1
d
u
⋅
∫
v
=
0
∞
e
−
v
v
y
−
1
d
v
=
∫
v
=
0
∞
∫
u
=
0
∞
e
−
u
−
v
u
x
−
1
v
y
−
1
d
u
d
v
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,du\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,dv\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{x-1}v^{y-1}\,du\,dv.\end{aligned}}}
Canviant les variables u = f (z ,t ) = zt v = g (z ,t ) = z (1 − t )
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
∫
z
=
0
∞
∫
t
=
0
1
e
−
z
(
z
t
)
x
−
1
(
z
(
1
−
t
)
)
y
−
1
|
J
(
z
,
t
)
|
d
t
d
z
=
∫
z
=
0
∞
∫
t
=
0
1
e
−
z
(
z
t
)
x
−
1
(
z
(
1
−
t
)
)
y
−
1
z
d
t
d
z
=
∫
z
=
0
∞
e
−
z
z
x
+
y
−
1
d
z
⋅
∫
t
=
0
1
t
x
−
1
(
1
−
t
)
y
−
1
d
t
=
Γ
(
x
+
y
)
B
(
x
,
y
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{z=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}{\big |}J(z,t){\big |}\,dt\,dz\\[6pt]&=\int _{z=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}z\,dt\,dz\\[6pt]&=\int _{z=0}^{\infty }e^{-z}z^{x+y-1}\,dz\cdot \int _{t=0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\\&=\Gamma (x+y)\,\mathrm {B} (x,y),\end{aligned}}}
on |J(z,t)| és el valor absolut del determinant jacobià de u = f (z ,t )v = g (z ,t )
La identitat indicada pot ser vista com un cas particular de la identitat de la integral d'una convolució . Prenent
f
(
u
)
:=
e
−
u
u
x
−
1
1
R
+
g
(
u
)
:=
e
−
u
u
y
−
1
1
R
+
,
{\displaystyle {\begin{aligned}f(u)&:=e^{-u}u^{x-1}1_{\mathbb {R} _{+}}\\g(u)&:=e^{-u}u^{y-1}1_{\mathbb {R} _{+}},\end{aligned}}}
s'obté
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
∫
R
f
(
u
)
d
u
⋅
∫
R
g
(
u
)
d
u
=
∫
R
(
f
∗
g
)
(
u
)
d
u
=
B
(
x
,
y
)
Γ
(
x
+
y
)
.
{\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{\mathbb {R} }f(u)\,du\cdot \int _{\mathbb {R} }g(u)\,du=\int _{\mathbb {R} }(f*g)(u)\,du=\mathrm {B} (x,y)\,\Gamma (x+y).}
Tenim
∂
∂
x
B
(
x
,
y
)
=
B
(
x
,
y
)
(
Γ
′
(
x
)
Γ
(
x
)
−
Γ
′
(
x
+
y
)
Γ
(
x
+
y
)
)
=
B
(
x
,
y
)
(
ψ
(
x
)
−
ψ
(
x
+
y
)
)
,
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)}}\right)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (x)-\psi (x+y){\big )},}
on ψ (x )funció digamma .
La integral de Nørlund-Rice és una integral de contorn que conté la funció beta.
∑
k
=
α
n
(
n
k
)
(
−
1
)
k
f
(
k
)
=
−
1
2
π
i
∮
γ
B
(
n
+
1
,
−
z
)
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \sum _{k=\alpha }^{n}{n \choose k}(-1)^{k}f(k)=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }B(n+1,-z)f(z)\,\mathrm {d} z}
La funció beta incompleta
modifica
La funció beta incompleta , una generalització de la funció beta, es defineix com
B
(
x
;
a
,
b
)
=
∫
0
x
t
a
−
1
(
1
−
t
)
b
−
1
d
t
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.}
Per x = 1, la funció beta incompleta coincideix amb la funció beta completa. La relació entre les dues funcions és com la que hi ha entre la funció gamma i la seva generalització de la funció gamma incompleta.
La funció beta incompleta regularitzada (o funció beta regularitzada per abreujar) es defineix en termes de la funció beta incompleta i la funció beta completa:
I
x
(
a
,
b
)
=
B
(
x
;
a
,
b
)
B
(
a
,
b
)
.
{\displaystyle I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.}
La funció beta incompleta regularitzada és la funció de distribució acumulativa de la distribució Beta , i es relaciona amb la funció de distribució acumulativa d'una variable aleatòria X d'una distribució binomial , on la «probabilitat d'èxit» és p i la mida de la mostra és n :
F
(
k
;
n
,
p
)
=
Pr
(
X
≤
k
)
=
I
1
−
p
(
n
−
k
,
k
+
1
)
=
1
−
I
p
(
k
+
1
,
n
−
k
)
.
{\displaystyle F(k;\,n,p)=\Pr \left(X\leq k\right)=I_{1-p}(n-k,k+1)=1-I_{p}(k+1,n-k).}
I
0
(
a
,
b
)
=
0
I
1
(
a
,
b
)
=
1
I
x
(
a
,
1
)
=
x
a
I
x
(
1
,
b
)
=
1
−
(
1
−
x
)
b
I
x
(
a
,
b
)
=
1
−
I
1
−
x
(
b
,
a
)
I
x
(
a
+
1
,
b
)
=
I
x
(
a
,
b
)
−
x
a
(
1
−
x
)
b
a
B
(
a
,
b
)
I
x
(
a
,
b
+
1
)
=
I
x
(
a
,
b
)
+
x
a
(
1
−
x
)
b
b
B
(
a
,
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{0}(a,b)&=0\\I_{1}(a,b)&=1\\I_{x}(a,1)&=x^{a}\\I_{x}(1,b)&=1-(1-x)^{b}\\I_{x}(a,b)&=1-I_{1-x}(b,a)\\I_{x}(a+1,b)&=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{a\mathrm {B} (a,b)}}\\I_{x}(a,b+1)&=I_{x}(a,b)+{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{b\mathrm {B} (a,b)}}\end{aligned}}}
Funció beta multivariable
modifica
La funció beta es pot estendre a una funció amb més de dos arguments:
B
(
α
1
,
α
2
,
…
α
n
)
=
Γ
(
α
1
)
Γ
(
α
2
)
⋯
Γ
(
α
n
)
Γ
(
α
1
+
α
2
+
⋯
+
α
n
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})={\frac {\Gamma (\alpha _{1})\,\Gamma (\alpha _{2})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n})}}.}
Aquesta funció beta multivariable s'utilitza en la definició de la distribució de Dirichlet .
Implementació al programari
modifica
Fins i tot si no estan disponibles directament, els valors de la funció beta completa i incompleta es poden calcular utilitzant les funcions que se solen incloure en els sistemes de fulls de càlcul o àlgebra computacional . Per exemple, en Excel , el valor de la funció beta completa es pot calcular a partir de la funcióGammaLn:
Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))El valor de la funció beta incompleta es pot calcular com:
Value = BetaDist(x, a, b) * Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b)).Aquests resultats es dedueixen de les propietats esmentades anteriorment.
De la mateixa manera, betainc (funció beta incompleta) en MATLAB and GNU Octave , pbeta (probabilitat de distribució beta) en R , o special.betainc en paquet SciPy de Python , calcula la funció beta incompleta, que és de fet, la distribució beta acumulativa regularitzada i així, per obtenir la funció beta incompleta real, cal multiplicar el resultat de betainc pel resultat retornat per la funció beta corresponent.
Askey , R. A; Roy , R. Beta function (en Handbook of Mathematical Functions ) (en anglès). Nova York: Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-0521192255 Davis , Philip J. Gamma function and related functions (en Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables ) ISBN 978-0-486-61272-0 Paris , R. B. Incomplete beta functions (en Handbook of Mathematical Functions ) (en anglès). Nova York: Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-0521192255 Press , W. H; Teukolsky , SA; Vetterling , WT; Flannery , BP. «Section 6.1 Gamma Function, Beta Function, Factorials ». A: Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (en anglès). Nova York: Cambridge University Press, 2007. ISBN 978-0-521-88068-8 Schneider , TheodorZur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale Zelen , M; Severo , N. C. Probability functions (en Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables ) (en anglès). Dover Publications, 1972, p. 925–995. ISBN 978-0-486-61272-0
Enllaços externs
modifica
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (x,y)&={\dfrac {(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}}\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,d\theta ,&&\mathrm {Re} (x)>0,\ \mathrm {Re} (y)>0\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,&&\mathrm {Re} (x)>0,\ \mathrm {Re} (y)>0\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {n-y}{n}}{x+n}},\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba295b1e43f606415071540b0aed7eb6605f0620)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y),\\[6pt]&\mathrm {B} (x+1,y)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {x}{x+y}},\\[6pt]&\mathrm {B} (x,y+1)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {y}{x+y}},\\[6pt]&\mathrm {B} (x,1-x)={\frac {\pi }{\sin(\pi x)}},\quad x\not \in \mathbb {Z} ,\\[6pt]&\mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}},\\[6pt]&\mathrm {B} (x,y)\cdot \left(t\mapsto t_{+}^{x+y-1}\right)={\Big (}t\to t_{+}^{x-1}{\Big )}*{\Big (}t\to t_{+}^{y-1}{\Big )},\quad x\geq 1,y\geq 1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7f34777823a66984dc6a0af2da1bc0d35a143b6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,du\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,dv\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{x-1}v^{y-1}\,du\,dv.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b69ef295b94e4f0d6cfff0b9a7c58dc59244bcd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{z=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}{\big |}J(z,t){\big |}\,dt\,dz\\[6pt]&=\int _{z=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}z\,dt\,dz\\[6pt]&=\int _{z=0}^{\infty }e^{-z}z^{x+y-1}\,dz\cdot \int _{t=0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\\&=\Gamma (x+y)\,\mathrm {B} (x,y),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/481b37eba1d2b5f28eb4cb18104bd98bf59efbe2)
