En matemàtica , una funció homogènia és una funció que presenta un comportament multiplicador d'escala interessant: si tots els arguments es multipliquen per un factor constant, llavors el valor de la funció resulta ser un cert nombre de vegades el factor multiplicador elevat a una potència. Aquesta potència és el grau de la funció homogènia (vegeu #Definició formal ).
Definició formal
modifica
Les funcions lineals
modifica
Qualsevol funció lineal
f
:
V
→
W
{\displaystyle f:V\rightarrow W\,}
f
(
α
v
)
=
α
f
(
v
)
{\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}
per a tot
α
∈
F
{\displaystyle \alpha \in F}
v
∈
V
{\displaystyle \mathbf {v} \in V\qquad \qquad }
multilineal
f
:
V
1
×
…
×
V
n
→
W
{\displaystyle f:V_{1}\times \ldots \times V_{n}\rightarrow W\qquad \qquad }
n , per definició.
f
(
α
v
1
,
…
,
α
v
n
)
=
α
n
f
(
v
1
,
…
,
v
n
)
{\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}
per a tot
α
∈
F
{\displaystyle \alpha \in F}
v
1
∈
V
1
,
…
,
v
n
∈
V
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{1}\in V_{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\in V_{n}}
n -èsima derivada de Fréchet d'una funció
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\rightarrow Y}
espais de Banach
X
{\displaystyle X\,}
Y
{\displaystyle Y\,}
n .
Polinomis homogenis
modifica
Els monomis en
n
{\displaystyle n}
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }
f
(
x
,
y
,
z
)
=
x
5
y
2
z
3
{\displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,}
és homogènia de grau 10, ja que:
(
α
x
)
5
(
α
y
)
2
(
α
z
)
3
=
α
10
x
5
y
2
z
3
{\displaystyle (\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}\,}
Un polinomi homogeni és un polinomi fet d'una suma de monomis del mateix grau. Per exemple,
x
5
+
2
x
3
y
2
+
9
x
y
4
{\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}\,}
és un polinomi homogeni de grau 5.
Suposem que una funció
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }
infinitament diferenciable . Llavors f és homogènia de grau k si i només si:
x
⋅
∇
f
(
x
)
=
k
f
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )\qquad \qquad }
Suposem que
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }
diferenciable i homogènia de grau k . Llavors les seves derivades parcials de primer ordre
∂
f
/
∂
x
i
{\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}
k -1. Les demostracions d'aquests dos resultats són semblants. Per demostrar el segon, s'escriu
f
=
f
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}
f
(
α
y
)
=
α
k
f
(
y
)
{\displaystyle f(\alpha \mathbf {y} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {y} )}
Definint
x
i
=
α
y
i
{\displaystyle x_{i}=\alpha y_{i}\,}
y
i
{\displaystyle y_{i}\,}
regla de la cadena que:
∂
∂
x
i
f
(
α
y
)
d
d
y
i
(
α
y
i
)
=
α
k
∂
∂
x
i
f
(
y
)
d
d
y
i
(
y
i
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {y} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y_{i}}}(\alpha y_{i})=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {y} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y_{i}}}(y_{i})}
I per tant:
α
∂
∂
x
i
f
(
α
y
)
=
α
k
∂
∂
x
i
f
(
y
)
{\displaystyle \alpha {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {y} )=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {y} )}
I finalment:
∂
∂
x
i
f
(
α
y
)
=
α
k
−
1
∂
∂
x
i
f
(
y
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {y} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {y} )}
Aplicació a les EDOs
modifica
Si
I
{\displaystyle I\,}
J
{\displaystyle J\,}
v
=
y
/
x
{\displaystyle v=y/x}
equació diferencial ordinària (EDO)
I
(
x
,
y
)
d
y
d
x
+
J
(
x
,
y
)
=
0
,
{\displaystyle I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,}
en l'equació diferencial separable:
x
d
v
d
x
=
−
J
(
1
,
v
)
I
(
1
,
v
)
−
v
{\displaystyle x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v}
Blatter, Christian. «20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.». A: Analysis II (2nd ed.) (en alemany). Springer Verlag, 1979, p. 188. ISBN 3-540-09484-9 Enllaços externs
modifica
