En matemàtiques , la substitució trigonomètrica és la substitució d'altres expressions per expressions trigonomètriques. Es poden fer servir les identitats trigonomètriques per simplificar integrals que contenen expressions radicals:
1
−
sin
2
θ
=
cos
2
θ
per
a
2
−
x
2
{\displaystyle 1-\sin ^{2}\theta \;=\;\cos ^{2}\theta {\text{ per }}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}
1
+
tan
2
θ
=
sec
2
θ
per
a
2
+
x
2
{\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta \;=\;\sec ^{2}\theta {\text{ per }}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}
sec
2
θ
−
1
=
tan
2
θ
per
x
2
−
a
2
{\displaystyle \sec ^{2}\theta -1\;=\;\tan ^{2}\theta {\text{ per }}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}
En l'expressió a ² − x ², la substitució de a sin(θ) per x fa possible d'emprar la identitat 1 − sin²θ = cos²θ.
En l'expressió a ² + x ², la substitució de a tan(θ) per x fa possible de fer servir la identitat tan²θ + 1 = sec²θ.
De manera similar, en x ² − a ², la substitució de a sec(θ) per x fa possible utilitzar la identitat sec²θ − 1 = tan²θ.
Integrals que contenen a ² − x ²
modifica
A la integral
∫
d
x
a
2
−
x
2
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}
Es pot emprar
x
=
a
sin
(
θ
)
per
tant
arcsin
(
x
/
a
)
=
θ
,
{\displaystyle x=a\sin(\theta )\ \ {\mbox{per}}\ {\mbox{tant}}\ \arcsin(x/a)=\theta ,}
d
x
=
a
cos
(
θ
)
d
θ
,
{\displaystyle dx=a\cos(\theta )\,d\theta ,}
a
2
−
x
2
=
a
2
−
a
2
sin
2
(
θ
)
=
a
2
(
1
−
sin
2
(
θ
)
)
=
a
2
cos
2
(
θ
)
,
{\displaystyle a^{2}-x^{2}=a^{2}-a^{2}\sin ^{2}(\theta )=a^{2}(1-\sin ^{2}(\theta ))=a^{2}\cos ^{2}(\theta ),}
Així la integral esdevé
∫
d
x
a
2
−
x
2
=
∫
a
cos
(
θ
)
d
θ
a
2
cos
2
(
θ
)
=
∫
d
θ
=
θ
+
C
=
arcsin
(
x
/
a
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\int {\frac {a\cos(\theta )\,d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )}}}=\int d\theta =\theta +C=\arcsin(x/a)+C}
(Fixeu-vos que el pas anterior requereix que sigui a > 0 i cos(θ) > 0; es pot triar que a sigui l'arrel quadrada positiva de a ²; i imposar la restricció a θ de ser −π/2 < θ < π/2 a base d'usar la funció arcsin().)
Per a una integral definida, cal analitzar com canvien els límits d'integració. Per exemple, si x va de 0 a a /2, llavors sin(θ) va de 0 a 1/2, per tant θ va de 0 a π/6. Llavors es té
∫
0
a
/
2
d
x
a
2
−
x
2
=
∫
0
π
/
6
d
θ
=
π
6
.
{\displaystyle \int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\int _{0}^{\pi /6}d\theta ={\frac {\pi }{6}}.}
(Aneu amb compte al triar els límits. La integració de la secció anterior requereix que −π/2 < θ < π/2, per tant, l'única possibilitat és que θ vagi de 0 a π/6. Si es descuidés aquesta restricció, es podria haver triat que θ anés de π a 5π/6, lo qual hauria donat un resultat negatiu.)
Integrals que contenen a ² + x ²
modifica
A la integral
∫
1
a
2
+
x
2
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\,dx}
es pot escriure
x
=
a
tan
(
θ
)
per
tant
θ
=
arctan
(
x
/
a
)
,
{\displaystyle x=a\tan(\theta )\ \ {\mbox{per}}\ {\mbox{tant}}\ \theta =\arctan(x/a),}
d
x
=
a
sec
2
(
θ
)
d
θ
,
{\displaystyle dx=a\sec ^{2}(\theta )\,d\theta ,}
a
2
+
x
2
=
a
2
+
a
2
tan
2
(
θ
)
=
a
2
(
1
+
tan
2
(
θ
)
)
=
a
2
sec
2
(
θ
)
,
{\displaystyle a^{2}+x^{2}=a^{2}+a^{2}\tan ^{2}(\theta )=a^{2}(1+\tan ^{2}(\theta ))=a^{2}\sec ^{2}(\theta ),}
x
/
a
=
tan
(
θ
)
,
{\displaystyle x/a=\tan(\theta ),}
així la integral esdevé
∫
1
a
2
sec
2
(
θ
)
a
sec
2
(
θ
)
d
θ
=
1
a
∫
d
θ
=
θ
a
+
C
=
1
a
arctan
(
x
/
a
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{a^{2}\sec ^{2}(\theta )}}\,a\sec ^{2}(\theta )\,d\theta ={\frac {1}{a}}\int \,d\theta ={\frac {\theta }{a}}+C={\frac {1}{a}}\arctan(x/a)+C}
(donat que a > 0).
Integrals que contenen x ² − a ²
modifica
integrals com
∫
d
x
x
2
−
a
2
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}}
S'haurien de resoldre amb els mètodes de integració de funcions racionals en comptes de provar de resoldre-les per substitucions trigonomètriques.
La integral
∫
x
2
−
a
2
d
x
{\displaystyle \int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx}
Es pot resoldre per substitució
x
=
a
sec
θ
,
d
x
=
a
sec
θ
tan
θ
d
θ
,
x
2
−
a
2
=
a
2
tan
2
θ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x&{}=a\sec \theta ,\\dx&{}=a\sec \theta \tan \theta \,d\theta ,\\x^{2}-a^{2}&{}=a^{2}\tan ^{2}\theta .\end{aligned}}}
Això inclourà la integral de la secant al cub .
Substitucions que eliminen funcions trigonomètriques
modifica
La substitució es pot fer servir per eliminar funcions trigonomètriques. Per exemple,
∫
f
(
sin
x
,
cos
x
)
d
x
=
∫
1
±
1
−
u
2
f
(
u
,
±
1
−
u
2
)
d
u
,
u
=
sin
x
{\displaystyle \int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int {\frac {1}{\pm {\sqrt {1-u^{2}}}}}f\left(u,\pm {\sqrt {1-u^{2}}}\right)\,du,\qquad \qquad u=\sin x}
∫
f
(
sin
x
,
cos
x
)
d
x
=
∫
−
1
±
1
−
u
2
f
(
±
1
−
u
2
,
u
)
d
u
u
=
cos
x
{\displaystyle \int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int {\frac {-1}{\pm {\sqrt {1-u^{2}}}}}f\left(\pm {\sqrt {1-u^{2}}},u\right)\,du\qquad \qquad u=\cos x}
(però cal anar amb compte amb els signes)
∫
f
(
sin
x
,
cos
x
)
d
x
=
∫
2
1
+
u
2
f
(
2
u
1
+
u
2
,
1
−
u
2
1
+
u
2
)
d
u
u
=
tan
x
2
{\displaystyle \int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int {\frac {2}{1+u^{2}}}f\left({\frac {2u}{1+u^{2}}},{\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\right)\,du\qquad \qquad u=\tan {\frac {x}{2}}}
∫
cos
x
(
1
+
cos
x
)
3
d
x
=
∫
2
1
+
u
2
1
−
u
2
1
+
u
2
(
1
+
1
−
u
2
1
+
u
2
)
3
d
u
{\displaystyle \int {\frac {\cos x}{(1+\cos x)^{3}}}\,dx=\int {\frac {2}{1+u^{2}}}{\frac {\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}{\left(1+{\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\right)^{3}}}\,du}
=
1
4
∫
(
1
−
u
4
)
d
u
=
1
4
(
u
−
1
5
u
5
)
+
C
=
(
1
+
3
cos
x
+
cos
2
x
)
sin
x
5
(
1
+
cos
x
)
3
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}={\frac {1}{4}}\int (1-u^{4})\,du={\frac {1}{4}}\left(u-{\frac {1}{5}}u^{5}\right)+C\\\\&{}={\frac {(1+3\cos x+\cos ^{2}x)\sin x}{5(1+\cos x)^{3}}}+C\end{aligned}}}
