Integral de Duhamel

La integral de Duhamel En la teoria de vibracions, és un mètode per calcular la resposta de sistemes lineals i estructures a excitacions externes arbitràries variables en el temps. Rep el seu nom del matemàtic francès Jean Marie Duhamel.

Introducció modifica

Previ modifica

La resposta d'un sistema lineal esmorteït d'un sol grau de llibertat a una excitació mecànica variable en el temps p(t) ve donada per l'equació diferencial ordinària de segon ordre següent:

 

on m és la massa (equivalent), x és l'amplitud de vibració, t el temps, c el coeficient d'esmorteïment viscos, i k la rigidesa del sistema o estructura.

Si un sistema inicialment en repòs i en equilibri rep un impuls unitari a l'instant t=0, és a dir que p(t) a l'equació anterior és una funció delta δ(t),  , aleshores la solució de l'equació diferencial és una solució fonamental coneguda com a funcio resposta a l'impuls unitari)

 

on   rep el nom raó d'esmorteïment del sistema,   és la pulsació natural del sistema no esmorteït (és a dir, quan c=0) i   és la freqüència circular quan es té en compte l'efecte de l'esmorteïment (és a dir quan  ). Si l'impuls es dona a t=τ en lloc de t=0, és a dir  , la resposta a l'impuls és

  

Conclusió modifica

Expressant l'excitació arbitrària p(t) com a la superposició d'una sèrie d'impulsos:

 

aleshores, de la linealitat del sistema, se sap que la resposta total també es pot expressar com la superposició de la sèrie de respostes als impulsos:

 

Si es fa  , i canviant la suma per una integral, l'equació anterior és estrictament vàlida

 

Substituint l'expressió de h(t-τ) en l'equació anterior porta a l'expressió general de la integral de Duhamel

 

Bibliografia modifica

  • R. W. Clough, J. Penzien, Dynamics of Structures, Mc-Graw Hill Inc., Nova York, 1975. (en angles)
  • Anil K. Chopra, Dynamics of Structures - Theory and applications to Earthquake Engineering, Pearson Education Asia Limited and Tsinghua University Press, Beijing, 2001 (en angles)
  • Leonard Meirovitch, Elements of Vibration Analysis, Mc-Graw Hill Inc., Singapore, 1986 (en angles)

Enllaços externs modifica