Matriu de Toeplitz
En àlgebra lineal, una matriu de Toeplitz o matriu de constants diagonals, anomenada després d'Otto Toeplitz, és una matriu en la qual cada diagonal descendent d'esquerra a dreta és constant. Per exemple, la matriu següent és una matriu de Toeplitz: [1]
Qualsevol matriu de la forma
és una matriu de Toeplitz. Si el element de es denota llavors tenim
Resolució d'un sistema Toeplitz modifica
Una equació matricial de la forma
s'anomena sistema Toeplitz si és una matriu de Toeplitz. Si és un Toeplitz matriu, llavors el sistema té com a màxim només valors únics, més que . Per tant, podríem esperar que la solució d'un sistema Toeplitz fos més fàcil, i de fet és així.
Els sistemes Toeplitz es poden resoldre mitjançant algorismes com l'algoritme de Schur o l'algoritme de Levinson en temps. S'ha demostrat que les variants d'aquest últim són feblement estables (és a dir, presenten estabilitat numèrica per a sistemes lineals ben condicionats). Els algorismes també es poden utilitzar per trobar el determinant d'una matriu de Toeplitz temps.
Una matriu de Toeplitz també es pot descompondre (és a dir, factoritzar) en temps . L'algorisme de Bareiss per a una descomposició LU és estable. Una descomposició LU proporciona un mètode ràpid per resoldre un sistema Toeplitz, i també per calcular el determinant. [3]
Propietats generals modifica
- An La matriu de Toeplitz es pot definir com una matriu on , per a constants. El conjunt de Les matrius de Toeplitz són un subespai de l'espai vectorial de matrius (sota suma matricial i multiplicació escalar).
- Es poden afegir dues matrius de Toeplitz temps (emmagatzemant només un valor de cada diagonal) i multiplicat per temps.
- Les matrius de Toeplitz són persimètriques. Les matrius de Toeplitz simètriques són tant centrosimètriques com bisimètriques.
- Les matrius de Toeplitz també estan estretament relacionades amb les sèries de Fourier, perquè l'operador de multiplicació per un polinomi trigonomètric, comprimit a un espai de dimensions finites, es pot representar amb aquesta matriu. De la mateixa manera, es pot representar la convolució lineal com a multiplicació per una matriu de Toeplitz.
- Les matrius de Toeplitz es desplacen de manera asimptòtica. Això significa que es diagonalitzen en la mateixa base quan la dimensió de fila i columna tendeix a l'infinit.
- Per a les matrius de Toeplitz simètriques, hi ha la descomposició
- on és la part triangular inferior de .
- La inversa d'una matriu de Toeplitz simètrica no singular té la representació
- on i són matrius de Toeplitz triangulars inferiors i és una matriu triangular estrictament inferior. [4]
Referències modifica
- ↑ «[https://ee.stanford.edu/~gray/toeplitz.pdf Toeplitz and Circulant Matrices: A review]» (en anglès). [Consulta: 11 maig 2024].
- ↑ Weisstein, Eric W. «Toeplitz Matrix» (en anglès). [Consulta: 11 maig 2024].
- ↑ «Meet the Toeplitz matrix» (en anglès). [Consulta: 11 maig 2024].
- ↑ «Every Matrix is a Product of Toeplitz Matrices» (en anglès). [Consulta: 11 maig 2024].