Nombre doble de Mersenne
En matemàtiques, un nombre doble de Mersenne és un nombre primer de Mersenne de la forma
on p és un nombre primer de Mersenne.
El més petit nombre doble de Mersenne modifica
Primers dobles de Mersenne modifica
Un nombre doble de Mersenne que sigui primer és anomenat primer doble de Mersenne. Com que un nombre de Mersenne Mp és primer si i només si p és primer, (veure primer de Mersenne per una demostració), un nombre doble de Mersenne és primer si i només si Mp és un primer de Mersenne. El primer valor de p pel qual Mp és primer són p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127. D'aquests, és conegut per ser primer per p = 2, 3, 5, 7. Per p = 13, 17, 19, i 31, s'han trobat explícits factors demostrant que els nombres dobles de Mersenne corresponents no són primers. Així, el més petit candidat pel proper primer doble de Mersenne és , o 22305843009213693951 − 1. Essent aproximadament 1.695×10694127911065419641, aquest nombre és massa gran per ser conegut test de primalitat. No hi ha cap factor primer sota de 4×1033.[2] No hi ha probablement cap altre primer doble de Mersenne que els quatre coneguts.[1][3]
La conjectura del nombre Catalan–Mersenne modifica
Escrit com a en comptes de . Un cas especial de nombres dobles de Mersenne, anomenem la seqüència recursiva definida
és anomenat com nombres Catalan–Mersenne.[4] Es diu[1] que Catalan portà aquesta seqüència després del descobriment de la primalitat de M(127)=M(M(M(M(2)))) per Lucas el 1876.[5] Catalan va conjecturar que ells, fins a un cert límit, són tots primers.[Cal aclariment]
Tot i que els primers cinc termes (fins a ) són primers, no hi ha mètode conegut per decidir si algun d'aquests nombre són primers (en un temps raonable) simpplament perquè els nombres en qüestió són massa grans, a menys que la primalitat de M(M(127)) sigui desaprovat.
En la cultura popular modifica
En la pel·lícula The Beast with a Billion Backs, el nombre doble de Mersenne és vist breument en "una simple prova de la conjectura de Goldbach". A la pel·lícula, aquest nombre és conegut com un "primer martià".
Vegeu també modifica
Referències modifica
- ↑ 1,0 1,1 1,2 Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists a la Prime Pages.
- ↑ Tony Forbes, Una cerca per un factor de MM61. En progrés: 9 Octobre 2008 Arxivat 2009-02-15 a Wayback Machine.. Aquest informe la més alta marca de 204204000000×(10019+1)×(261−1), sota 4×1033. Consultat al 2008-10-22.
- ↑ I. J. Good. Conjectures sobre nombres de Mersenne. Matemàtiques de la Computació vol. 9 (1955) p. 120-121 [consultat al 2012-10-19]
- ↑ Weisstein, Eric W., «Catalan-Mersenne Number» a MathWorld (en anglès).
- ↑ Nouvelle correspondance mathématique vol. 2 (1876), p. 94-96, "Questions proposées" probably collected by the editor. Almost all of the questions are signed by Édouard Lucas as is number 92: "Prouver que 261 - 1 et 2127 - 1 sont des nombres premiers. (É. L.) (*)." The footnote (indicated by the star) written by the editor Eugène Catalan, is as follows: "(*) Si l'on admet ces deux propositions, et si l'on observe que 2² - 1, 23 - 1, 27 - 1 sont aussi des nombres premiers, on a ce théorème empirique: Jusqu'à une certaine limite, si 2n - 1 est un nombre premiere p, 2p - 1 est une nombre premiere p', 2p' - 1 est une nombre premiere p", etc. Cette proposition a quelque analogie avec le théorème suviant, énoncé par Fermat, et dont Euler a montré l'inexactitude: Si n est une puissance de 2, 2n + 1 est une nombre premiere. (E. C.)" http://archive.org/stream/nouvellecorresp01mansgoog#page/n353/mode/2up [retrieved 2012-10-18]
Enllaços externs modifica
- Weisstein, Eric W., «Double Mersenne Number» a MathWorld (en anglès).
- Tony Forbes, Una cerca pel factor de MM61 Arxivat 2009-02-08 a Wayback Machine..
- Estat de factorització del nombre doble Mersenne Arxivat 2014-10-15 a Wayback Machine.
- Cerca de nombres dobles de Mersennes primers
- Operazione Doppi Mersennes