Nombre harmònic

En matemàtiques, l'n-èsim nombre harmònic és la suma dels recíprocs dels primers n nombres naturals:

El nombre harmònic $H_{n,1}$ amb $n=\lfloor {x}\rfloor$ (línia vermella) amb el seu límit asimptòtic $\gamma +\ln[x]$ (línia blava).

$H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}.$

Això és el mateix que n vegades l'invers de la mitjana harmònica d'aquests nombres naturals.

Els nombres harmònics s'han estudiat des de l'antiguitat i són importants en moltes branques de la teoria de nombres. A vegades s'anomenen vagament com sèrie harmònica. A més, estan estretament relacionats amb la funció zeta de Riemann i apareixen en l'expression d'algunes funcions especials.

Representació

La primera representació, en forma integral, la va donar Leonhard Euler:

$H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}dx$

Veiem que:

$H_{n+1}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}dx=\int _{0}^{1}(x^{n}+{\frac {1-x^{n}}{1-x}})dx=\int _{0}^{1}x^{n}dx+\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}dx$

En resum

$H_{n+1}=H_{n}+{\frac {1}{n+1}}$

La qual cosa ja era evident per la definició en els nombres naturals.