Definició i propietats bàsiques
modifica
Un índex múltiple n- dimensional és una n - tupla
α
=
(
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
)
{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}
de nombres enters no negatius (és a dir, un element del conjunt n - dimensional de nombres naturals , denotat
N
0
n
{\displaystyle \mathbb {N} _{0}^{n}}
).
Per a índexs múltiples
α
,
β
∈
N
0
n
{\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}
i
x
=
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
∈
R
n
{\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
es defineix:
Suma i diferència per components
α
±
β
=
(
α
1
±
β
1
,
α
2
±
β
2
,
…
,
α
n
±
β
n
)
{\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}
Ordre parcial
α
≤
β
⇔
α
i
≤
β
i
∀
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}}
Suma de components (valor absolut )
|
α
|
=
α
1
+
α
2
+
⋯
+
α
n
{\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}
Factorial
α
!
=
α
1
!
⋅
α
2
!
⋯
α
n
!
{\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}
Coeficient binomial
(
α
β
)
=
(
α
1
β
1
)
(
α
2
β
2
)
⋯
(
α
n
β
n
)
=
α
!
β
!
(
α
−
β
)
!
{\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}}
Coeficient multinomial
(
k
α
)
=
k
!
α
1
!
α
2
!
⋯
α
n
!
=
k
!
α
!
{\displaystyle {\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}}
on
k
:=
|
α
|
∈
N
0
{\displaystyle k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}}
.
Potència
x
α
=
x
1
α
1
x
2
α
2
…
x
n
α
n
{\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}
.
Derivada parcial d’ ordre superior
∂
α
=
∂
1
α
1
∂
2
α
2
…
∂
n
α
n
{\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}}
on
∂
i
α
i
:=
∂
α
i
/
∂
x
i
α
i
{\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}
(vegeu també 4 gradients). De vegades la notació
D
α
=
∂
α
{\displaystyle D^{\alpha }=\partial ^{\alpha }}
també s’utilitza.[1]
Algunes aplicacions
modifica
La notació multi-índex permet l'extensió de moltes fórmules des del càlcul elemental fins al cas multivariable corresponent. A continuació en detallem alguns exemples. En tot el següent,
x
,
y
,
h
∈
C
n
{\displaystyle x,y,h\in \mathbb {C} ^{n}}
(o
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
),
α
,
ν
∈
N
0
n
{\displaystyle \alpha ,\nu \in \mathbb {N} _{0}^{n}}
, i
f
,
g
,
a
α
:
C
n
→
C
{\displaystyle f,g,a_{\alpha }\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }
(o
R
n
→
R
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
).
Teorema multinomial
(
∑
i
=
1
n
x
i
)
k
=
∑
|
α
|
=
k
(
k
α
)
x
α
{\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\biggr )}^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\binom {k}{\alpha }}\,x^{\alpha }}
Teorema multi-binomial
(
x
+
y
)
α
=
∑
ν
≤
α
(
α
ν
)
x
ν
y
α
−
ν
.
{\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}
Tingueu en compte que, atès que x +y és un vector i α és un índex múltiple, l'expressió de l'esquerra és curta per (x 1 +y 1 )α 1 ...(x n +y n )α n .
Fórmula de Leibniz
Per a funcions fluixes f i g
∂
α
(
f
g
)
=
∑
ν
≤
α
(
α
ν
)
∂
ν
f
∂
α
−
ν
g
.
{\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}
Sèrie de Taylor
Per a una funció analítica f en n variables es té
f
(
x
+
h
)
=
∑
α
∈
N
0
n
∂
α
f
(
x
)
α
!
h
α
.
{\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}^{}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.}
De fet, per a una funció prou suau, tenim l' expansió similar de Taylor
f
(
x
+
h
)
=
∑
|
α
|
≤
n
∂
α
f
(
x
)
α
!
h
α
+
R
n
(
x
,
h
)
,
{\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),}
on l'últim terme (el que queda) depèn de la versió exacta de la fórmula de Taylor. Per exemple, per a la fórmula de Cauchy (amb resta integral), s'obté
R
n
(
x
,
h
)
=
(
n
+
1
)
∑
|
α
|
=
n
+
1
h
α
α
!
∫
0
1
(
1
−
t
)
n
∂
α
f
(
x
+
t
h
)
d
t
.
{\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}
Operador diferencial parcial
Un operador diferencial parcial d'ordre N lineal formal en n variables s'escriu com
P
(
∂
)
=
∑
|
α
|
≤
N
a
α
(
x
)
∂
α
.
{\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}
Integració per parts
Per a funcions fluides amb suport compacte en un domini limitat
Ω
⊂
R
n
{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}
un té
∫
Ω
u
(
∂
α
v
)
d
x
=
(
−
1
)
|
α
|
∫
Ω
(
∂
α
u
)
v
d
x
.
{\displaystyle \int _{\Omega }{}{u(\partial ^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.}
Aquesta fórmula s’utilitza per a la definició de distribucions i derivats febles .
Un teorema d’exemple
modifica
Si
α
,
β
∈
N
0
n
{\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}
són multiíndexs i
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}
, doncs
∂
α
x
β
=
{
β
!
(
β
−
α
)
!
x
β
−
α
if
α
≤
β
,
0
otherwise.
{\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}}
La demostració es desprèn de la regla de potència per a la derivada ordinària ; si α i β són a {0, 1, 2, . . .}, doncs
d
α
d
x
α
x
β
=
{
β
!
(
β
−
α
)
!
x
β
−
α
if
α
≤
β
,
0
otherwise.
(
1
)
{\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}\qquad (1)}
Suposem
α
=
(
α
1
,
…
,
α
n
)
{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}
,
β
=
(
β
1
,
…
,
β
n
)
{\displaystyle \beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}
, i
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}
. Llavors tenim això
∂
α
x
β
=
∂
|
α
|
∂
x
1
α
1
⋯
∂
x
n
α
n
x
1
β
1
⋯
x
n
β
n
=
∂
α
1
∂
x
1
α
1
x
1
β
1
⋯
∂
α
n
∂
x
n
α
n
x
n
β
n
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}}
Per a cada i de {1, . . ., n }, la funció
x
i
β
i
{\displaystyle x_{i}^{\beta _{i}}}
només depèn de
x
i
{\displaystyle x_{i}}
. A l’anterior, cada diferenciació parcial
∂
/
∂
x
i
{\displaystyle \partial /\partial x_{i}}
per tant, es redueix a la diferenciació ordinària corresponent
d
/
d
x
i
{\displaystyle d/dx_{i}}
. Per tant, de l'equació (1) se’n desprèn
∂
α
x
β
{\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }}
s'esvaeix si α i > β i per almenys un i a {1, . . ., n }. Si no és el cas, és a dir, si α ≤ β com a índexs múltiples, doncs
d
α
i
d
x
i
α
i
x
i
β
i
=
β
i
!
(
β
i
−
α
i
)
!
x
i
β
i
−
α
i
{\displaystyle {\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}}
per cada
i
{\displaystyle i}
i. el teorema segueix.
◻
{\displaystyle \Box }
↑ Reed , M. Methods of Modern Mathematical Physics: Functional Analysis I . Revised and enlarged. San Diego: Academic Press, 1980, p. 319. ISBN 0-12-585050-6 .
Aquest article incorpora material derivat d'un índex múltiple d'una potència a PlanetMath, que està llicenciat sota la llicència Creative Commons Reconeixement / Compartir-Igual.