Rombicosidodecàedre

En geometria, el rombicosidodecàedre o petit rombicosidodecàedre és un dels tretze políedres arquimedians.

Rombicosidodecàedre

Model 3D
Tipus	políedre arquimedià i políedre uniforme
Forma de les cares	triangle equilàter (20) quadrat (30) pentàgon regular (12)
Símbol de Schläfli	rr{5,3}
Dual	Hexacontàedre trapezoidal
Elements
Vèrtexs	60
Arestes	120
Cares	62
Més informació
MathWorld	SmallRhombicosidodecahedron

Té 62 cares, 12 de les quals són pentagonals, 20 triangulars i 30 quadrades, 120 arestes i a cadascun dels seus 60 vèrtex i concorren una cara pentagonals una triangular i dues quadrades.

Àrea i volum

Les fórmules per calcular l'àrea A i el volum V d'un petit rombicosidodecàedre tal que les seves arestes tenen longitud a són les següents:

$A=\left(30+{\sqrt {30\left(10+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {15(5+2{\sqrt {5}})}}\right)}}\right)a^{2}$

$V=\left(20+{\begin{matrix}{29 \over 3}\end{matrix}}{\sqrt {5}}\right)a^{3}$

Esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes

Els radis R, r i $\rho$ de les esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes respectivament són:

${\begin{aligned}&R={\frac {a{\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}}{2}}\\&r={\frac {a\left(15+2{\sqrt {5}}\right){\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}}{41}}\\&\rho ={\frac {a{\sqrt {10+4{\sqrt {5}}}}}{2}}\\\end{aligned}}$

On a és la longitud de les arestes.

Dualitat

El políedre dual del petit rombicosidodecàedre és el hexacontàedre pentagonal.

Desenvolupament pla

Desenvolupament pla del petit rombicosidodecàedre

Simetries

El grup de simetria del petit rombicosidodecàedre té 120 elements; el grup de les simetries que preserven les orientacions és el grup icosàedric $I\cong A_{5}$. Són els mateixos grups de simetria que per l'icosàedre i pel dodecàedre.

Políedres relacionats

El petit rombicodidodecàedre es pot obtindre tant del icosàedre com de l'octàedre a base d'expandir-los allunyant les deves cares del centre i creant noves cares per a cada aresta i vèrtex originals.

També es pot obtenir truncant al mateix temps tant els vèrtexs com les arestes de l'icosàedre o del dodecàedre.

Les vint cares triangulars i les dotze cares pentagonals del petit rombicosidodecàedre descansen sobre els plans de les cares d'un icosàedre i d'un dodecàedre respectivament. Les trenta cares quadrades, en canvi descansen sobre els mateixos plans que les cares d'un traiacontàedre ròmbic, el políedre dual de l'icosidodecàedre.

• 
  dodecàedre
• 
  petit rombicosidodecàedre
• 
  icosàedre

Vegeu també

• Políedre arquimedià
• Políedre de Catalan
• Políedre regular
• Sòlid platònic
• Sòlid de Johnson

Bibliografia

• H. M. Cundy & A. P. Rollett. I modelli matematici. Milà: Feltrinelli, 1974. 

• Dedò, Maria. Forme, simmetria e topologia. Bolonya: Decibel & Zanichelli, 1999. ISBN 88-08-09615-7. 

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Rombicosidodecàedre

• Políedres I Arxivat 2009-05-09 a Wayback Machine. Pàgina 13
• Políedres arquimedians Arxivat 2008-08-27 a Wayback Machine.
• Paper models of Archimedean solids