En geometria diferencial , la primera forma fonamental és el producte escalar induït canònicament en l'espai tangent de cada punt d'una superfície en un espai euclidià tridimensional. Es fa servir per calcular la curvatura i propietats mètriques d'una superfície com ara longituds i àrees, de manera compatible amb l'espai circumdant. La primera forma fonamental es denota amb el nombre romà I ,
I
(
x
,
y
)
=
⟨
x
,
y
⟩
.
{\displaystyle \mathrm {I} (x,y)=\langle x,y\rangle .}
Sigui X (u , v )superfície paramètrica . Llavors el producte escalar de dos vectors tangents és
I
(
a
X
u
+
b
X
v
,
c
X
u
+
d
X
v
)
=
a
c
⟨
X
u
,
X
u
⟩
+
(
a
d
+
b
c
)
⟨
X
u
,
X
v
⟩
+
b
d
⟨
X
v
,
X
v
⟩
=
E
a
c
+
F
(
a
d
+
b
c
)
+
G
b
d
,
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \mathrm {I} (aX_{u}+bX_{v},cX_{u}+dX_{v})\\&=ac\langle X_{u},X_{u}\rangle +(ad+bc)\langle X_{u},X_{v}\rangle +bd\langle X_{v},X_{v}\rangle \\&=Eac+F(ad+bc)+Gbd,\end{aligned}}}
on E F G coeficients de la primera forma fonamental .[1]
La primera forma fonamental es pot representar en forma de matriu simètrica .
I
(
x
,
y
)
=
x
T
(
E
F
F
G
)
y
{\displaystyle \mathrm {I} (x,y)=x^{\mathsf {T}}{\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}y}
Notació complementària
modifica
Quan la primera forma fonamental s'escriu amb un únic un argument, denota el producte escalar del vector amb ell mateix.
I
(
v
)
=
⟨
v
,
v
⟩
=
|
v
|
2
{\displaystyle \mathrm {I} (v)=\langle v,v\rangle =|v|^{2}}
La primera forma fonamental s'escriu sovint amb la notació moderna del tensor mètric . Llavors, els coeficients es denoten
g
i
j
{\displaystyle g_{ij}}
(
g
i
j
)
=
(
g
11
g
12
g
21
g
22
)
=
(
E
F
F
G
)
{\displaystyle \left(g_{ij}\right)={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}}
Els components d'aquest tensor s'obtenen com a producte escalar dels vectors tangents
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
g
i
j
=
X
i
⋅
X
j
{\displaystyle g_{ij}=X_{i}\cdot X_{j}}
per i , j = 1, 2
Càlcul de longituds i àrees
modifica
La primera forma fonamental descriu completament les propietats mètriques d'una superfície. Així, es fa servir per calcular les longituds de corbes en la superfície i les àrees de regions en la superfície. El diferencial de longitud ds
d
s
2
=
E
d
u
2
+
2
F
d
u
d
v
+
G
d
v
2
.
{\displaystyle ds^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}\,.}
El diferencial d'àrea clàssic donat per
d
A
=
|
X
u
×
X
v
|
d
u
d
v
{\displaystyle dA=|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv}
identitat de Lagrange ,
d
A
=
|
X
u
×
X
v
|
d
u
d
v
=
⟨
X
u
,
X
u
⟩
⟨
X
v
,
X
v
⟩
−
⟨
X
u
,
X
v
⟩
2
d
u
d
v
=
E
G
−
F
2
d
u
d
v
.
{\displaystyle dA=|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv={\sqrt {\langle X_{u},X_{u}\rangle \langle X_{v},X_{v}\rangle -\left\langle X_{u},X_{v}\right\rangle ^{2}}}\,du\,dv={\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.}
Exemple: propietats mètriques en una esfera
modifica
Una esfera unitat a
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
X
(
u
,
v
)
=
(
cos
u
sin
v
sin
u
sin
v
cos
v
)
,
(
u
,
v
)
∈
[
0
,
2
π
)
×
[
0
,
π
]
.
{\displaystyle X(u,v)={\begin{pmatrix}\cos u\sin v\\\sin u\sin v\\\cos v\end{pmatrix}},\ (u,v)\in [0,2\pi )\times [0,\pi ].}
Derivant X (u ,v )u i v s'obté
X
u
=
(
−
sin
u
sin
v
cos
u
sin
v
0
)
,
X
v
=
(
cos
u
cos
v
sin
u
cos
v
−
sin
v
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}X_{u}&={\begin{pmatrix}-\sin u\sin v\\\cos u\sin v\\0\end{pmatrix}},\\X_{v}&={\begin{pmatrix}\cos u\cos v\\\sin u\cos v\\-\sin v\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
Els coeficients de la primera forma fonamental es poden obtenir fent el producte escalar de les derivades parcials .
E
=
X
u
⋅
X
u
=
sin
2
v
F
=
X
u
⋅
X
v
=
0
G
=
X
v
⋅
X
v
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}E&=X_{u}\cdot X_{u}=\sin ^{2}v\\F&=X_{u}\cdot X_{v}=0\\G&=X_{v}\cdot X_{v}=1\end{aligned}}}
Per tant:
(
E
F
F
G
)
=
(
sin
2
v
0
0
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin ^{2}v&0\\0&1\end{pmatrix}}}
Longitud d'una corba en l'esfera
modifica
L'equador de l'esfera és una corba parametritzada per
(
u
(
t
)
,
v
(
t
)
)
=
(
t
,
π
2
)
{\displaystyle (u(t),v(t))=(t,{\tfrac {\pi }{2}})}
Amb t
∫
0
2
π
E
(
d
u
d
t
)
2
+
2
F
d
u
d
t
d
v
d
t
+
G
(
d
v
d
t
)
2
d
t
=
∫
0
2
π
|
sin
v
|
d
t
=
2
π
sin
π
2
=
2
π
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\sqrt {E\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}+2F{\frac {du}{dt}}{\frac {dv}{dt}}+G\left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}}}\,dt=\int _{0}^{2\pi }|\sin v|\,dt=2\pi \sin {\tfrac {\pi }{2}}=2\pi }
Àrea d'una regió en l'esfera
modifica
Per calcular l'àrea de l'esfera es fa servir el diferencial d'àrea.
∫
0
π
∫
0
2
π
E
G
−
F
2
d
u
d
v
=
∫
0
π
∫
0
2
π
sin
v
d
u
d
v
=
2
π
[
−
cos
v
]
0
π
=
4
π
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {EG-F^{2}}}\ du\,dv=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\sin v\,du\,dv=2\pi \left[-\cos v\right]_{0}^{\pi }=4\pi }
Curvatura gaussiana
modifica
La curvatura gaussiana d'una superfície és
K
=
det
I
I
det
I
=
L
N
−
M
2
E
G
−
F
2
,
{\displaystyle K={\frac {\det \mathrm {I\!I} }{\det \mathrm {I} }}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},}
on L M segona forma fonamental .
El teorema egregi de Gauss estableix que la curvatura gaussiana d'una superfície es pot expressar només en termes de la primera forma fonamental i les seves derivades, de manera que K fórmula de Brioschi dona explícitament la curvatura gaussiana en termes de la primera forma fonamental:
K
=
det
|
−
1
2
E
v
v
+
F
u
v
−
1
2
G
u
u
1
2
E
u
F
u
−
1
2
E
v
F
v
−
1
2
G
u
E
F
1
2
G
v
F
G
|
−
det
|
0
1
2
E
v
1
2
G
u
1
2
E
v
E
F
1
2
G
u
F
G
|
(
E
G
−
F
2
)
2
{\displaystyle K={\frac {\det {\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{vv}+F_{uv}-{\frac {1}{2}}G_{uu}&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1}{2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-\det {\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}}{(EG-F^{2})^{2}}}}
↑ Pascual Gainza , Pere «Geometria de superfícies: Una aproximació a la figura de Gauss». Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques , 20, 2, 2005, pàg. 150.
Enllaços externs
modifica
![{\displaystyle X(u,v)={\begin{pmatrix}\cos u\sin v\\\sin u\sin v\\\cos v\end{pmatrix}},\ (u,v)\in [0,2\pi )\times [0,\pi ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73e5b7afd7f2582ed24213d0e356eb14449436bd)
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {EG-F^{2}}}\ du\,dv=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\sin v\,du\,dv=2\pi \left[-\cos v\right]_{0}^{\pi }=4\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e28136ab5471d71dffcf90e5046ebf12a5316d6)
