Problema dels punts
El problema dels punts és el primer desafiament de probabilitat que es coneix. La primera solució va ser donada al segle xiv.
La situació és la següent: Dos jugadors juguen a un joc en què per cada partida guanyada s'obté 1 punt. El primer que arriba a 6 punts s'emporta el premi (24 ducats). El joc s'interromp per causes desconegudes en un moment en què el jugador A té 5 punts i el jugador B, 3. Davant la impossibilitat de continuar i acabar la partida, el problema tracta de repartir el premi de manera justa.
Aquest problema ha tingut diverses solucions, concretament tres, però la més acceptada i considerada correcta, que utilitza els càlcul de probabilitats, és la proposada per Pascal i Fermat:
Diferents solucions modifica
Solució proposada per Luca Pacioli modifica
Luca Pacioli proposa repartir el premi 5 a 3.
Argument:
Proposa repartir el premi de manera proporcional als punts que ha guanyat cada jugador.
= 3 ducats / punt guanyat.
Pel jugador A, que ha guanyat 5 punts, 15 ducats. Pel jugador B, que ha guanyat 3 punts, 9 ducats.
Solució proposada per Niccolò Tartaglia modifica
Niccolò Tartaglia proposa repartir el premi 2 a 1.
Argument:
Proposa repartir el premi de manera proporcional als punts d'avantatge que té el jugador A sobre el jugador B.
Proporció = 2:1
Per tant, si dividim el premi en terços, dos són pel jugador A i un, pel jugador B. 16 ducats per A i 8 per B.
Solució proposada per Blaise Pascal i Pierre de Fermat modifica
Blaise Pascal i Pierre Fermat proposen repartir el premi 7 a 1.
Argument:
Pascal: El jugador A s'emportaria el premi si guanyés la partida següent (1/2), o si perdés la següent i guanyés l'altra (1/4) o si perdés les dues següents i guanyés l'altra (1/8). Probabilitat que guanyi A: + + = + + =
Probabilitat que guanyi B: 1 - = - =
Fermat: Com que el joc es pot allargar com a màxim tres partides més, es consideren tots els resultats de jugar les tres partides i es compten els casos favorables a cada jugador. A tan sols necessita guanyar una partida per guanyar el joc. En la taula es representa A per les partides guanyades pel jugador A i B, per les partides guanyades pel jugador B.
A B A A A B B B A A B A B A B B A A A B B B A B
D'acord amb la taula, el jugador A compta amb 7 de les 8 possibilitats mentre que B, 1 de les 8.
Per tant, la distribució dels ducats (recordem que és la considerada correcta) seria la següent: seguint una proporció 7:1, el jugador A s'enduria 21 ducats i el jugador B, 3 ducats.