Producte vectorial

En matemàtiques, el producte vectorial o producte extern és una operació entre dos vectors d'un espai euclidià tridimensional orientat que retorna un altre vector ortogonal als dos vectors originals.

Il·lustració del producte vectorial i de la seva anticonmutativitat en un sistema de coordenades de mà dreta.

És diferent doncs, del producte escalar o producte intern que retorna un escalar.

Definició de producte vectorial

El producte extern de dos vectors a i b es defineix només en l'espai tridimensional i es denota com a × b. En física i en matemàtiques aplicades, la notació de cunya a ∧ b s'utilitza sovint (en conjunció amb el nom producte vectorial), tot i que en matemàtiques pures tal notació se sol reservar només pel producte exterior, una abstracció del producte vectorial en n dimensions.

El producte vectorial a × b es defineix com el vector c que és perpendicular (ortogonal) tant a a com a b, amb la direcció donada per la regla de la mà dreta i una magnitud igual a l'àrea del paral·lelogram que formen els vectors.

El producte vectorial de dos vectors a i b s'expressa $\mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ o alternativament $\mathbf {c} =\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$ i el resultat en forma vectorial és:

$\mathbf {c} ={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y}\\a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z}\\a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}\end{bmatrix}}$

També es pot determinar el producte vectorial entre a i b com:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =ab\sin \theta \ \mathbf {\vec {n}}$

on $\theta$ és l'angle entre a i b (entre 0 i π radians), a i b són els mòduls dels vectors a i b, i $\mathbf {\vec {n}}$ és el vector unitari ortogonal al pla que conté a i b. Si els vectors a i b són colinears (és a dir, l'angle $\theta$ entre ells és 0 o π radians), el producte vectorial entre ells és el vector zero 0.

Com trobar la direcció del producte vectorial amb la regla de la mà dreta.

En un sistema de coordenades de mà dreta el sentit del vector $\mathbf {\vec {n}}$ ve donat per la regla de la mà dreta, on si l'índex estès de la mà dreta és la direcció de a i si el dit mitjà plegat en perpendicular és en la direcció de b aleshores el vector $\mathbf {\vec {n}}$ té la direcció del polze (vegeu la figura a la dreta).

Un sistema de coordenades ortonormal de mà dreta és tal que els vectors unitaris i, j, i k corresponents a les direccions x, y, i z satisfan les següents equacions:

i × j = k j × k = i k × i = j

En física i enginyeria és pràctica habitual i per tant hom pressuposa l'ús de sistemes de coordenades de mà dreta.

També es pot trobar el producte vectorial com el determinant de la següent matriu:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\det {\begin{bmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{bmatrix}}$

on i, j, i k són els vectors unitaris del sistema de coordenades.

Interpretació geomètrica

L'àrea del paral·lelogram del producte vectorial.

El mòdul del producte vectorial es pot interpretar com l'àrea del paral·lelogram que té costats a i b.

$|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta .\,\!$

La direcció del producte vectorial és perpendicular als dos vectors a i b i el sentit ve donat per la regla de la mà dreta.

Propietats del producte vectorial

El producte vectorial és anticommutatiu:

a × b = -b × a

És distributiu en respecte de la suma:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

No és associatiu, però satisfà la identitat de Jacobi:

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0

És compatible amb la multiplicació escalar:

(r a) × b = a × (r b) = r (a × b)

Satisfà la identitat de Lagrange

a × (b × c) = b(a · c)− c(a · b)

Un cas particular de la qual és:

${\begin{matrix}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&=&\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} &=&{\mbox{grad }}({\mbox{div }}\mathbf {f} )-\nabla ^{2}\mathbf {f} \end{matrix}}$

Una altra identitat de Lagrange és:

$|a\times b|^{2}+|a\cdot b|^{2}=|a|^{2}|b|^{2}$

Altres propietats del producte vectorial

a • (b × c) = det (a, b, c)

(a × b) × (c × d) = det (a, b, d) c + det (a, b ,c) d

Derivació temporal d'un producte vectorial

${\frac {d}{dt}}[a(t)\times b(t)]=a(t)\times {\frac {db(t)}{dt}}+{\frac {da(t)}{dt}}\times b(t)$

Dos vectors no nuls a i b són paral·lels si i només si a × b = 0.

Aplicacions

El producte vectorial s'empra en la fórmula de l'operador vectorial rotacional.

També s'usa per descriure la força de Lorentz experimentada per una càrrega elèctrica en moviment en un camp magnètic. Les definicions de parell de forces i moment angular inclouen el producte vectorial.

El producte vectorial s'empra també per calcular la normal a un triangle o polígon, una operació freqüent en gràfics d'ordinador.

Vegeu també

• Espai vectorial
• Combinació lineal
• Sistema generador
• Independència lineal
• Base (àlgebra)
• Base ortogonal
• Base ortonormal
• Coordenades cartesianes
• Producte escalar
• Producte tensorial

Bibliografia

• Wilson, Edwin Bidwell. Vector Analysis: A text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs. Yale University Press, 1901. 

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Producte vectorial

• http://mathworld.wolfram.com/CrossProduct.html (anglès)