Relació d'equivalència

Sigui $A\,$ un conjunt qualsevol, una relació en $A\,$ és un criteri que ens permet dir si dos elements qualsevol de $A\,$ satisfan la relació o no. Una relació és relació d'equivalència si compleix les propietats reflexiva, simètrica i transitiva.

La relació d'equivalència agrupa els elements d'un conjunt amb subconjunts disjunts d'elements que tenen alguna propietat en comú, definint d'aquesta forma la noció de classe d'equivalència. I finalment això ens permet construir nous conjunts reunint tots els elements similars en un únic element. D'aquesta forma s'arriba al concepte de conjunt quocient.

Definició

Definició formal

Una relació d'equivalència $\sim \,$ en un conjunt $A\,$ és una relació que, $\forall a,b,c\in A\,$ compleix les següents propietats:

• Propietat reflexiva: $a\sim a\,$.
• Propietat simètrica: $a\sim b\Longrightarrow b\sim a\,$.
• Propietat transitiva:$a\sim b,b\sim c\Longrightarrow a\sim c\,$.

Definició equivalent

Es pot dir també, que una relació d'equivalència és una relació reflexiva i circular.

Una relació és circular si: $\forall a,b,c\in A,a\sim b,b\sim c\Longrightarrow c\sim a$

Exemples

• Si definim en el conjunt $\mathbb {N}$ la següent relació: $\forall a,b\in \mathbb {N} ,a\sim b\,$ si $a\,$ i $b\,$ són tots dos parells,o tots dos senars. Evidentment, aquesta relació defineix una relació d'equivalència en $\mathbb {N} \,$.

• Si definim en el mateix conjunt $\mathbb {N} \,$ la relació $\forall a,b\in \mathbb {N} ,a\sim b\,$ si $a<b\,$. Evidentment, aquesta relació no és una relació d'equivalència, ja que no compleix ni la propietat reflexiva, ni la simètrica encara que compleix la propietat transitiva.

Classes d'equivalència

Article principal: Classe d'equivalència

Tota relació d'equivalència ens permet dividir el conjunt $A\,$ en subconjunts disjunts, on cada subconjunt està format per tots els elements relacionats entre ells. Cada un d'aquests subconjunts és una classe d'equivalència, generada per la relació d'equivalència $\sim \,$. La classe d'equivalència d'un element $a\in A\,$, que escriurem per $\sim a\,$ està format per: $\sim a=\left\{b\in A|a\sim b\right\}\,$, amb les següents característiques:

• $\sim a\,$ és un subconjunt de $A\,$.
• $\sim a\,$ no és buit. Com a mínim conté $a\,$.
• Inversament, $\forall a\in A\,$ pertany com a mínim a una classe d'equivalència, la seva.
• $\sim a=\sim b\Longleftrightarrow b\in \sim a\,$.
• $b\notin \sim a\Longleftrightarrow (\sim a\cap \sim b)=\emptyset \,$.

O sigui, tota relació d'equivalència en un conjunt $A\,$, defineix una partició de $A\,$.

Conjunt quocient

Definició

El conjunt quocient de $A\,$ per la relació d'equivalència $\sim \,$, que escriurem $A/\sim \,$, és el conjunt de les classes d'equivalència de $A\,$ per $\sim \,$: $A/\sim =\left\{\sim a|a\in A\right\}\,$.

Exemple

Fixem un valor $m\,$, tal que $m>1\,$ i $m\in \mathbb {Z} \,$. Direm que dos nombres enters $a\,$ i $b\,$, estan relacionats si $a-b\in \left(m\right)\,$. És a dir que estem creant una relació en el conjunt $\mathbb {Z} \,$ a partir d'un valor $m\,$, de tal forma que dos elements de $\mathbb {Z} \,$ són de la mateixa classe d'equivalència si la seva divisió entera per $m\,$ té la mateixa resta.

• Evidentment és una relació d'equivalència, ja que compleix les propietats imposades.
• La classe d'equivalència de $a\,$, serà: $\sim a=\left\{k\cdot m+a\right\}\,$, $\forall k\in \mathbb {Z} \,$.
• El seu conjunt quocient estarà format per ($m\,$) elements.

Aquest conjunt quocient s'acostuma a escriure per $\mathbb {Z} /(m)\,$.

Vegeu també

• Relació
• Funcions i aplicacions
• Estructura algebraica