En A.Hurwitz va plantejar, en el seu quadern, en data del 6 de desembre 1918 , la pregunta de si era possible que una sèrie de potències
h
(
ξ
)
=
∑
k
=
0
∞
a
k
(
ξ
−
ξ
0
)
k
,
{\displaystyle h(\xi )=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(\xi -\xi _{0})^{k},}
representant una funció diferent de
ξ
↦
c
e
ξ
{\displaystyle \xi \mapsto ce^{\xi }}
, admetés continuació analítica al llarg d'un camí tancat
γ
{\displaystyle \gamma }
al voltant de
ξ
0
{\displaystyle \xi _{0}}
i, a la fi de la continuació, prengués la forma
∑
k
=
1
∞
k
a
k
(
ξ
−
ξ
0
)
k
−
1
=
h
′
(
ξ
)
,
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }ka_{k}(\xi -\xi _{0})^{k-1}=h^{\prime }(\xi ),}
és a dir, es pot continuar analíticament una funció holomorfa cap a la seva derivada ?
La solució de Lewy
modifica
En H.Lewy va respondre afirmativament, i va donar una solució del problema que presentem aquí en una forma lleugerament modificada.[1]
Es consideri la funció:
h
(
z
)
=
∫
R
+
exp
[
−
z
t
−
(
log
t
)
2
/
4
π
i
]
d
t
;
{\displaystyle h(z)=\int _{\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[-zt-(\log t)^{2}/4\pi i\right]\,dt;}
h
{\displaystyle h}
és holomorfa per
ℜ
(
z
)
>
0
{\displaystyle \Re (z)>0}
i pot ser continuada analíticament als semiplans
ℜ
(
z
e
−
i
ϑ
)
>
0
(
ϑ
∈
R
+
)
{\displaystyle \Re (ze^{-i\vartheta })>0\ (\vartheta \in \mathbb {R} ^{+})}
, de la manera següent: sigui
N
∈
N
{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
tal que
0
<
ϑ
/
N
<
π
/
2
{\displaystyle 0<\vartheta /N<\pi /2}
i fem
η
:=
ϑ
/
N
{\displaystyle \eta :=\vartheta /N}
.
Escrivim, per a
z
∈
{
ℜ
(
z
e
−
i
η
)
>
0
}
⋃
{
ℜ
(
z
)
>
0
}
{\displaystyle z\in \{\Re (ze^{-i\eta })>0\}\bigcup \{\Re (z)>0\}}
,
h
(
z
)
=
∫
R
+
exp
[
z
e
−
i
η
e
i
η
t
−
log
(
e
−
i
η
e
i
η
t
)
2
4
π
i
]
d
t
{\displaystyle h(z)=\int _{\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[ze^{-i\eta }e^{i\eta }t-{\frac {\log(e^{-i\eta }e^{i\eta }t)^{2}}{4\pi i}}\right]\,dt}
=
∫
e
i
η
R
+
exp
[
−
z
e
−
i
η
u
−
(
log
(
u
)
−
i
η
)
2
4
π
i
]
e
−
i
η
d
u
{\displaystyle =\int _{e^{i\eta }\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[-ze^{-i\eta }u-\displaystyle {\frac {(\log(u)-i\eta )^{2}}{4\pi i}}\right]e^{-i\eta }\,du}
=
lim
R
→
∞
{
∫
0
R
exp
[
−
z
e
−
i
η
u
−
(
log
(
u
)
−
i
η
)
2
4
π
i
]
e
−
i
η
d
u
+
{\displaystyle =\lim _{R\to \infty }\left\{\int _{0}^{R}\exp \left[-ze^{-i\eta }u-\displaystyle {\frac {(\log(u)-i\eta )^{2}}{4\pi i}}\right]e^{-i\eta }\,du+\right.}
+
∫
γ
R
exp
[
−
z
e
−
i
η
u
−
(
log
(
u
)
−
i
η
)
2
4
π
i
]
e
−
i
η
d
u
}
.
{\displaystyle \ \qquad \left.+\int _{\gamma _{R}}\exp \left[-ze^{-i\eta }u-\displaystyle {\frac {(\log(u)-i\eta )^{2}}{4\pi i}}\right]e^{-i\eta }\,du\right\}.}
Aquesta darrera integral, que anomenem
I
2
{\displaystyle I_{2}}
, ha de ser calculada sobre la corba
γ
R
:
[
0
,
1
]
→
C
{\displaystyle \gamma _{R}:[0,1]\rightarrow \mathbb {C} }
definida en posar
γ
(
t
)
:=
R
e
i
θ
{\displaystyle \gamma (t):=Re^{i\theta }}
.
Hom ha
I
2
≤
C
1
R
α
e
−
C
2
R
{\displaystyle I_{2}\leq C_{1}R^{\alpha }e^{-C_{2}R}}
per a unes constants reals positives
C
1
{\displaystyle C_{1}}
,
C
2
{\displaystyle {C_{2}}}
i
α
{\displaystyle {\alpha }}
, car
I
2
{\displaystyle I_{2}}
tendeix a
0
{\displaystyle 0}
quan
R
→
∞
{\displaystyle R\to \infty }
.
Així per a
z
∈
{
ℜ
(
z
e
−
i
η
)
>
0
}
⋂
{
ℜ
(
z
)
>
0
}
{\displaystyle z\in \{\Re (ze^{-i\eta })>0\}\bigcap \{\Re (z)>0\}}
hom ha
h
(
z
)
=
∫
R
+
exp
[
−
z
e
−
i
η
u
−
(
log
(
u
)
−
i
η
)
2
4
π
i
]
e
−
i
η
d
u
;
{\displaystyle h(z)=\int _{\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[-ze^{-i\eta }u-{\frac {(\log(u)-i\eta )^{2}}{4\pi i}}\right]e^{-i\eta }\,du;}
però aquesta darrera integral convergeix en
ℜ
(
z
e
−
i
η
)
>
0
{\displaystyle \Re (ze^{-i\eta })>0}
i, doncs, hi defineix una continuació analítica de
h
{\displaystyle h}
. Repetim el procediment
N
{\displaystyle N}
vegades: això ens dona finalment una continuació analítica de
h
{\displaystyle h}
al semiplà
ℜ
(
z
e
−
i
ϑ
)
>
0
{\displaystyle \Re (ze^{-i\vartheta })>0}
; així doncs,
h
{\displaystyle h}
pot ser continuada analíticament a tot punt
p
∈
C
∖
{
0
}
{\displaystyle p\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}
.
Finalment, si fem la continuació analítica al llarg del camí
|
z
|
=
1
,
0
≤
arg
(
z
)
≤
2
π
{\displaystyle \vert z\vert =1,0\leq \arg(z)\leq 2\pi }
, obtenim, designant
h
^
{\displaystyle {\hat {h}}}
l'element de funció holomorfa obtingut (en un entorn de
z
=
1
{\displaystyle z=1}
) després una volta completa,
h
^
(
z
)
=
∫
R
+
exp
[
−
e
2
π
i
z
t
−
(
log
t
+
2
π
i
)
2
/
4
π
i
]
d
t
=
{\displaystyle {\hat {h}}(z)=\int _{\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[-e^{2\pi i}zt-(\log t+2\pi i)^{2}/4\pi i\right]\,dt=}
=
∫
R
+
exp
[
−
z
t
−
(
log
t
)
2
−
4
π
2
+
4
π
i
log
t
4
π
i
]
d
t
=
{\displaystyle =\int _{\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[-zt-\displaystyle {\frac {(\log t)^{2}-4\pi ^{2}+4\pi i\log t}{4\pi i}}\right]\,dt=}
=
∫
R
+
exp
[
−
z
t
−
e
2
π
i
t
−
(
log
t
)
2
/
4
π
i
−
π
i
+
log
t
]
d
t
=
{\displaystyle =\int _{\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[\displaystyle -zt-e^{2\pi i}t-(\log t)^{2}/4\pi i-\pi i+\log t\right]\,dt=}
=
∫
R
+
(
−
t
)
exp
[
−
z
t
−
(
log
t
)
2
/
4
π
i
]
d
t
=
h
′
(
z
)
.
{\displaystyle =\int _{\mathbb {R} ^{+}}(-t)\exp \left[-zt-(\log t)^{2}/4\pi i\right]\,dt=h^{\prime }(z).}
Això acaba la presentació de la solució d'aquest problema.