Segment circular

Un segment circular o segment d'un cercle és en geometria la porció d'un cercle limitada per una corda i l'arc corresponent.

Fórmules

Un segment circular (en verd) està comprès entre una recta secant o corda (la línia discontínua) i l'arc els punts extrems són els de la corda.

Sigui R el radi del cercle, θ l'angle central, c la longitud de la corda, s la longitud de l'arc, h l'alçada del segment circular, i d l'altura de la porció triangular.

• El radi és $R=h+d{\frac {}{}}$
• La longitud de l'arc és $s=R\cdot \theta$ on $\theta \,$ està en radians.
• La longitud de la corda és $c=2R\sin {\frac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2-2\cos \theta }}$
• L'altura és $h=R(1-\cos {\frac {\theta }{2}})$
• L'angle és $\theta =2\arccos {\frac {d}{R}}$

Àrea

L'àrea del segment circular és igual a l'àrea del sector circular menys l'àrea de la porció triangular.

$A=\pi R^{2}\cdot {\frac {\theta }{2\pi }}-{\frac {R^{2}\sin \theta }{2}}={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)$

Demostració alternativa

L'àrea del sector circular és: $A=\pi R^{2}\cdot {\frac {\theta }{2\pi }}={\frac {R^{2}\cdot \theta }{2}}$

Si es bisecciona l'angle $\theta$, i per tant la porció triangular, s'obtenen dos triangles amb àrea total:

$R\sin {\frac {\theta }{2}}\cdot R\cos {\frac {\theta }{2}}=R^{2}\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}$

Atès que l'àrea del segment és l'àrea del sector menys l'àrea de la porció triangular, s'obtenen

$A=R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\right)$

D'acord amb la identitat trigonomètrica d'angle doble $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta \,$, per tant:

$\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}={\frac {1}{2}}\sin \theta$

amb el que resulta que l'àrea és: $A=R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-{\frac {1}{2}}\sin \theta \right)={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)$

Vegeu també

• Cònica
• Secció (matemàtica)
• Casquet esfèric, anàleg tridimensional

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Segment circular» a MathWorld (en anglès).
• Definició d'un segment circular amb animació interactiva (en anglès)
• Fórmula per l'àrea d'un segment circular amb animació interactiva (en anglès)