Teorema de probabilitats totals

El Teorema de probabilitats totals afirma el següent:

Considerem un espai de probabilitats $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$ i sigui $A_{1},A_{2},...,A_{n},\dots$ una partició (finita o infinit numerable) de $\Omega$ en esdeveniments que tenen probabilitat diferent de zero:

1. $\Omega =\bigcup _{n}A_{n}.$
2. ${\text{Per tot }}n,\ A_{n}\in {\mathcal {A}}.$
3. Si $n\neq m$, $A_{n}\cap A_{m}=\emptyset$
4. ${\text{Per tot }}n,\ \mathbb {P} (A_{n})>0.$

Sigui $B$ un esdeveniment qualsevol. Aleshores,

$$\mathbb {P} (B)=\sum _{n}\mathbb {P} (B\,|\,A_{n})\,\mathbb {P} (A_{n}),$$

on $\mathbb {P} (B\,|\,A_{n})$ és la probabilitat de $B$ condicionada per $A_{n}$.

Demostració

$$\mathbb {P} (B)=\mathbb {P} (B\cap \Omega )=\mathbb {P} {\Big (}B\cap {\big (}\bigcup _{n}A_{n}{\big )}{\Big )}=\mathbb {P} {\Big (}\bigcup _{n}{\big (}B\cap A_{n}{\big )}{\Big )}=\sum _{n}\mathbb {P} {\big (}B\cap A_{n}{\big )}=\sum _{n}\mathbb {P} (B\,|\,A_{n})\,\mathbb {P} (A_{n}).$$

Una versió per probabilitats condicionades

Considerem ara una partició finita o numerable d'un esdeveniment $A$ : $A=\bigcup _{n}A_{n}$ amb les mateixes condicions 2, 3 i 4 d'abans. Aleshores

$$\mathbb {P} (B\,|\,A)=\sum _{n}\mathbb {P} (B\,|\,A_{n})\,\mathbb {P} (A_{n}\,|\,A).\qquad (1)$$

Prova: Raonant com a la demostració anterior,

$$\mathbb {P} (B\cap A)=\mathbb {P} {\Big (}B\cap {\big (}\bigcup _{n}A_{n}{\big )}{\Big )}=\sum _{n}\mathbb {P} (B\cap A_{n})=\sum _{n}\mathbb {P} (B\,|\,A_{n})\,\mathbb {P} (A_{n}),$$

Però com que $A_{n}=A_{n}\cap A,$

$$\mathbb {P} (A_{n})=\mathbb {P} (A_{n}\cap A)=\mathbb {P} (A_{n}\,|\,A)\,\mathbb {P} (A).$$

Llavors,

$$\mathbb {P} (B\cap A)=\sum _{n}\mathbb {P} (B\,|\,A_{n})\,\mathbb {P} (A_{n}\,|\,A)\,\mathbb {P} (A),$$

d'on surt la fórmula (1).

Observació. Si totes les probabilitats $\mathbb {P} (B\,|\,A_{n})$ són iguals, posem $\mathbb {P} (B\,|\,A_{n})=C$, llavors també ${\textstyle \mathbb {P} (B\,|\,A)=C.}$ En efecte, aplicant la fórmula (1),

$$\mathbb {P} (B\,|\,A)=\sum _{n}\mathbb {P} (B\,|\,A_{n})\,\mathbb {P} (A_{n}\,|\,A)=C\sum _{n}\mathbb {P} (A_{n}\,|\,A)=C.$$

La versió del teorema per probabilitats condicionades permet reduir el càlcul de $\mathbb {P} (B|A)\$ al de les probabilitats $\ \mathbb {P} (B\,|\,A_{n}),\$que a vegades és més fàcil, ja que l'esdeveniment $A_{n}$, sent més petit que l'esdeveniment $A$, ofereix informació més precisa, i facilita la predicció (pronòstic = càlcul de probabilitat condicional). Això passa sovint quan s'estudien dues cadenes de Markov, on una és la imatge de l'altra. La demostració de la propietat de Markov per als processos de Galton-Watson n'és un exemple.