Teorema de von Staudt-Clausen

En teoria de nombres, el Teorema de von Staudt-Clausen (o Teorema de Staudt-Clausen) diu que:

$B_{2n}=A_{n}-\sum _{p_{k}}{\frac {1}{p_{k}}}\!$

on $B_{2n}$ és un nombre de Bernoulli, $A_{n}$ és un nombre enter i els $p_{k}$ són els nombres primers que satisfan $(p_{k}-1)|2n$, és a dir que $(p_{k}-1)$ és divisor de $2n$.

Aquest teorema permet caracteritzar els denominadors de tots els nombres de Bernoulli, que sempre seran un producte de nombres primers (i, per tant, mai quadrats perfectes) i sempre seran divisibles per $6$.

Exemples

Per exemple, per a $n=6$, els nombres primers que compleixen la condició són ${2,3,5,7,13}$, ja que ${1,2,4,6,12}$ divideixen $12$, és a dir $2n$. Per tant:

$B_{12}=1-\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{13}}\right)=-{\frac {691}{2730}}$

Per $n=7$, per exemple, és més senzill, ja que només els primers ${2,3}$ compleixen la condició (de fet $2$ i $3$ la compleixen sempre):

$B_{14}=2-\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)={\frac {7}{6}}$

Història

El teorema va ser descobert independent i simultàniament pels matemàtics Karl von Staudt i Thomas Clausen el 1840. El teorema va ser redescobert a començaments del segle XX per Ramanujan i es pot demostrar utilitzant els nombres p-àdics.

Enllaços externs

• von Staudt-Clausen Theorem per Weisstein, Eric W. a MathWorld.