És una eina matemàtica útil per descriure l'envolupant complexa d'un senyal modulat per una portadora real. La seva definició és:
s
^
(
t
)
=
H
{
s
}
(
t
)
=
(
h
∗
s
)
(
t
)
=
1
π
∫
−
∞
∞
s
(
τ
)
t
−
τ
d
τ
.
{\displaystyle {\widehat {s}}(t)={\mathcal {H}}\{s\}(t)=(h*s)(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {s(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau .\,}
on
h
(
t
)
=
1
/
π
t
{\displaystyle \scriptstyle h(t)=1/\pi t}
τ
=
t
{\displaystyle \tau =t\,}
Utilitzant
s
^
(
t
)
{\displaystyle {\widehat {s}}(t)}
senyal analític de s(t) com a:
S
a
(
t
)
=
s
(
t
)
+
i
s
^
(
t
)
{\displaystyle S_{a}(t)=s(t)+i{\widehat {s}}(t)}
La transformada de Hilbert posseeix una resposta en freqüència donada per la transformada de Fourier :
H
(
ω
)
=
F
{
h
}
(
ω
)
=
{
+
j
si
ω
<
0
−
j
si
ω
>
0
{\displaystyle H(\omega )={\mathcal {F}}\{h\}(\omega )\,={\begin{cases}+j\,&{\mbox{si }}\omega <0\,\\-j\,&{\mbox{si }}\omega >0\,\end{cases}}}
o, de manera equivalent:
H
(
ω
)
=
F
{
h
}
(
ω
)
=
−
j
⋅
sgn
(
ω
)
{\displaystyle H(\omega )={\mathcal {F}}\{h\}(\omega )\,=-j\cdot \operatorname {sgn}(\omega )}
j
{\displaystyle j\,}
i
{\displaystyle i\,}
unitat imaginària .
I, com que:
F
{
s
^
}
(
ω
)
=
H
(
ω
)
⋅
F
{
s
}
(
ω
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\{{\widehat {s}}\}(\omega )=H(\omega )\cdot {\mathcal {F}}\{s\}(\omega )}
la transformada de Hilbert produeix l'efecte de desplaçar la component de freqüències negatives de
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)\,}
Transformada inversa de Hilbert
modifica
També,
H
2
(
ω
)
=
−
1
{\displaystyle H^{2}(\omega )=-1\,}
−
H
(
ω
)
{\displaystyle -H(\omega )\,}
F
{
s
}
(
ω
)
=
−
H
(
ω
)
⋅
F
{
s
^
}
(
ω
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\{s\}(\omega )=-H(\omega )\cdot {\mathcal {F}}\{{\widehat {s}}\}(\omega )}
d'on s'obté la transformada inversa de Hilbert :
S
(
t
)
=
−
(
h
∗
s
^
)
(
t
)
=
−
H
{
s
^
}
(
t
)
.
{\displaystyle S(t)=-(h*{\widehat {s}})(t)=-{\mathcal {H}}\{{\widehat {s}}\}(t).\,}
Exemples de transformades
modifica
Senyal
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)\,}
Transformada de Hilbert
H
{
s
}
(
t
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}\{s\}(t)}
sin
(
t
)
{\displaystyle \sin(t)\,}
−
cos
(
t
)
{\displaystyle -\cos(t)\,}
cos
(
t
)
{\displaystyle \cos(t)\,}
sin
(
t
)
{\displaystyle \sin(t)\,}
1
t
2
+
1
{\displaystyle 1 \over t^{2}+1}
t
t
2
+
1
{\displaystyle t \over t^{2}+1}
sin
(
t
)
t
{\displaystyle \sin(t) \over t}
Funció sinc
1
−
cos
(
t
)
t
{\displaystyle 1-\cos(t) \over t}
⊓
(
t
)
{\displaystyle \sqcap (t)}
Funció rectangle
1
π
ln
|
t
+
1
2
t
−
1
2
|
{\displaystyle {1 \over \pi }\ln \left|{t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}}\right|}
Δ
(
t
)
{\displaystyle \Delta (t)}
Funció delta de Dirac
1
π
t
{\displaystyle {1 \over \pi t}}
