Usuari:Jordiventura96/proves/Problema de Waring

imatge = edwardwaring.jpg

En la teoria dels nombres, el problema de Waring és una famosa conjectura que va ser proposada pel matemàtic anglès Edward Waring (1734-1798) en el seu llibre Meditationes Algebraicae, l'any 1770. En concret, Waring deia, sense demostrar-ho, el següent: «Tot enter positiu pot expressar-se com a suma de, com a màxim 4 quadrats, 9 cubs, 19 potències quartes, i, en general, de n potències k-èssimes positives, essent n depenent de k. (Per tot k∈ℕ)».

El cas general del problema va ser demostrat per primer cop l'any 1909 pel matemàtic alemany David Hilbert, que va concloure que, donat qualsevol nombre natural k, el nombre n de potències k-èssimes que s'han de sumar per obtenir qualsevol nombre natural està acotat, és a dir, té un màxim que depèn de k. .^[1] És per això que actualment es coneix el problema com Teorema de Hilbert-Waring.

Relació amb el teorema dels quatre quadrats

El teorema dels quatre quadrats és el cas particular del problema de Waring quan k és igual a 2. Aquest axioma diu que tot nombre natural és, com a màxim, la suma de 4 quadrats enters. Va ser demostrat pel matemàtic italià Joseph Louis Lagrange l'any 1770, el matiex any en què Waring va proposar el seu problema. El teorema dels quatre quadrats també és conegut com la conjectura de Bachet, ja que va ser ell qui el va enunciar en les seves traduccions al llatí del llibre Arithmetica de Diofant, que ja llavors havia considerat el problema.

El nombre g(k)

Per tot k nombre natural, considerem g(k) el mínim nombre de potències k-èssimes que necessitem sumar per obtenir qualsevol enter positiu. És a dir:

n=x₁^k+x₂^k+...+x_g(k)^k

on n és un nombre natural; x_i són nombres naturals≤n; k és el grau de la potència i g(k) és el nombre màxim de potències necessàries per obtenir el nombre n. Segons el teorema del quatre quadrats, tenim que

g(2)=4. Els altres valors de g(k) s'han anat coneixent al llarg del segle XX:

g(3)=9 demostrat per Wieferich i Kempner (1909-1912)

g(4)=19 establert per Balausubramaniam, Dress, Deshouillers (1986)

g(5)=37 per Chen Jingrun (1964)

g(6)=73 per Pillai (1940)

Euler va proposar que

g (k)=2^k+[(3/2)^k]-2, on el claudàtor indica la part entera de la potència de la fracció.

Això ha permès, gràcies al treball de Dickson, Niven i Pillai, generalitzar la conjectura d'Euler, que ens permet conèixer els valors de g(k) per tot k.

Els primers 10 valors de g(k) coneguts són: 1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, i 1079.

El nombre G(k)

El nombre G(k), que cal no confondre amb g(k), és el nombre mínim de potències k-èssimes que necessitem sumar per obtenir un enter positiu suficientment gran (més gran que una certa constant coneguda), per tot k enter positiu. Si agafem com a exemple k=3, tindrem que g(3)=9; però no tots els nombres naturals necessiten fins a 9 quadrats sumands. De fet només els necessiten el 23 i el 239. Això permet reduir G(3) a 8, ja que es pot obtenir qualsevol nombre més gran que 239 amb la suma de, com a molt, 8 cubs, és a dir, a partir de 239, g(3) val 8. Aquest procediment ha permès reduir G(3) a 7.

La fita de Hilbert

David Hilbert (1862-1943), matemàtic formalista alemany va centrar la seva obra en la axiomatització de les matemàtiques durant la crisi de fonaments a principis del segle XX. L'any 1909 va demostrar el problema de Waring en una publicació en el Göttinger Nachrichten i en el Math. Annalen 67. Fidel al seu estil formalista, Hilbert no es va dedicar a trobar els valors de g(k_i), sinó que va demosatrar indirectament que la funció g(k) està ben definida, és a dir, que per a cada k la funció pren un valor finit.

Gràcies a aquesta demostració, David Hilbert va guanyar el premi János Bolyai l'any 1910. També per aquest mèrit va ser lloat pel seu rival Henri Poincaré.

Notes

↑ Carlos M. Madrid Casado, Hilbert, Las bases de la matemática, En el principio fue el axioma, p.85

Referències

Gardner, Martin. «Los problemas de Waring». A: Rosquillas anudadas. Traducción: Luis Bou García. RBA, 2008.
Waring. Meditationes algebraicae.Cambridge, England. pp. 204-205, 1770..

Enllaços externs

[1] Carlos M. Madrid Casado, Hilbert, Las bases de la matemática, En el principio fue el axioma, p.85

[1]