Usuari:Mcapdevila/No linealitat

En matemàtiques, els sistemes no lineals representen sistemes el comportament no és expressable com la suma dels comportaments dels seus descriptors. Més formalment, un sistema físic, matemàtic o d'un altre tipus és no lineal quan les equacions de moviment, evolució o comportament que regulen el seu comportament són no lineals. En particular, el comportament de sistemes no lineals no està subjecte al principi de superposició, com ho és un sistema lineal.

La linealitat d'un sistema permet als investigadors fer certes suposicions matemàtiques i aproximacions, permetent un càlcul més senzill dels resultats. Ja que els sistemes no lineals no són iguals a la suma de les parts, usualment són difícils (o impossibles) de modelar, i els seus comportaments respecte a una variable donada (per exemple, el temps) és extremadament difícil de predir.

Alguns sistemes no lineals tenen solucions exactes o integrables, mentre que altres tenen comportament caòtic, per tant no es poden reduir a una forma simple ni es poden resoldre. Un exemple de comportament caòtic són les onades gegants. Encara que alguns sistemes no lineals i equacions d'interès general han estat extensament estudiats, la vasta majoria són pobrament compresos.

Rerefons

Sistemes lineals

Article principal: Aplicació lineal

En matemàtiques una funció lineal és aquella que satisfà les següents propietats.

1. Additivitat: $f(x+y)=f(x)+f(i)\$
2. Homogeneïtat: $f(\alpha \ ,x)=\alpha \ ,f(x)\$

Aquestes dues regles preses en conjunt es coneixen com Principi de Superposició.

Sistemes no lineals

Les equacions no lineals són d'interès en física i matemàtiques pel fet que la majoria dels problemes físics són implícitament no lineals en la seva naturalesa. Exemples físics de sistemes lineals són relativament rars. Les equacions no lineals són difícils de resoldre i donen origen a interessants fenòmens com la teoria del caos. Una equació lineal pot ser descrita usant un operador lineal, L. Una equació lineal en algun valor desconegut de o té la forma

$Lu=0\,$

Una equació no lineal és una equació de la forma:

$F(u)=0\,$

Per algun valor desconegut de u.

Per poder resoldre qualsevol equació es necessita decidir en quin espai matemàtic es troba la solució u. Podria ser que o és un nombre real, un vector o, potser, una funció amb algunes propietats.

Les solucions d'equacions lineals poden ser generalment descrites com una superposició d'altres solucions de la mateixa equació. Això fa que les equacions lineals siguin fàcils de resoldre.

Les equacions no lineals són molt més complexes, i molt més difícils d'entendre per la manca de solucions simples superposades. Per a les equacions no lineals les solucions generalment no formen un espai vectorial i, en general, no poden ser superposades per produir noves solucions. Això fa el resoldre les equacions molt més difícil que en sistemes lineals.

Equacions no lineals específiques

Algunes equacions no lineals són ben compreses, per exemple:

$i=x^{2}-1$

I altres equacions polinomials.

No obstant això, els sistemes d'equacions no lineals són molt més complexos. Similarment, equacions diferencials de primer ordre no lineals, com ara:

$dxo=o^{2}$

són fàcilment resoltes (en aquest cas per separació de variables). Les equacions diferencials d'ordre superior, com ara:

$dx^{2}o+g\left(o\right)=0$

on g és una funció no lineal, són molt més desafiadors.

Per a les equacions diferencials parcials, el panorama és encara pitjor, ja que, encara que un nombre de resultats indiqui l'existència de solucions, l'estabilitat d'una solució i la dinàmica de les solucions han de ser provades.

Eines per a la solució de certes equacions no lineals

Al dia d'avui, hi ha moltes eines per analitzar equacions no lineals, per esmentar algunes tenim: dinàmica de sistemes, Teorema de la funció implícita i la teoria de la bifurcació

• Malinietski G.G. 2006. Fonaments matemàtics de la sinergètica. Caos, estructures i simulació per ordinador . [1].

Exemple d'equacions no lineals

• La relativitat general
• Les Equacions de Navier-Stokes de dinàmica de fluids
• L'òptica no lineal
• El sistema del clima a la Terra
• El balanceig d'un uniciclo robot
• L'equació de transport de Boltzmann
• L'equació de Korteweg-de Vries
• L'equació no lineal de Schroedinger.

Vegeu també

• Aplicació lineal
• Ones no lineals

Per fer

• Matemàtiques del segle 20

• Malinietski G.G. 2006. Fonaments matemàtics de la sinergètica. Caos, estructures i simulació per ordinador .

[2].

• Teoria del caos, fractals