Àlgebra commutativa

L'àlgebra commutativa és la branca de l'àlgebra abstracta que estudia els anells commutatius, els seus ideals, i els seus mòduls sobre aquests anells. Tant la geometria algebraica com la teoria algebraica de nombres es construeixen sobre l'àlgebra commutativa. Exemples significatius d'anells commutatius són els anells de polinomis, anells d'enters algebraics, i inclouen els enters ordinaris Z, i els nombres p-àdics.

L'àlgebra commutativa és la principal eina tècnica per a l'estudi de les propietats locals dels esquemes.

L'estudi dels anells que no són commutatius es coneix com a àlgebra no commutativa; inclou la teoria d'anells, la teoria de les representacions, i la teoria de les àlgebres de Banach.

Història

La matèria, coneguda inicialment com a teoria dels ideals, va començar a ser estudiada en el treball de Richard Dedekind sobre ideals, el mateix es va basar en el treball previ de Ernst Kummer i Leopold Kronecker. Més tard, David Hilbert va introduir el terme anell per a generalitzar el terme anterior anell de nombres. En Hilbert va presentar un enfocament més abstracte per a substituir els mètodes més concrets i orientats al càlcul que es basaven en aquesta mena d'objectes com ara l'anàlisi complexa teoria dels invariants. Al seu torn, en Hilbert va influir fortament en Emmy Noether, a qui es deu gran part de l'enfocament abstracte i axiomàtic de la matèria. Una altra fita important va ser el treball de l'alumne de Hilbert Emanuel Lasker, que va presentar els ideals primers i va demostrar la primera versió del teorema de Lasker–Noether.

Gran part del desenvolupament modern de l'àlgebra commutativa es basa en els mòduls. Tant els ideals d'un anell A com les A-àlgebres són casos particulars d'A-mòduls, per això la teoria dels mòduls inclou tant la teoria dels ideals com la teoria de les extensions dels anells. Encara que ja incipient en el treball de Kronecker l'enfocament modern de l'àlgebra commutativa fent servir la teoria dels mòduls s'atribueix normalment a Emmy Noether.

Vegeu també

• Llista de temes d'àlgebra commutativa
• Àlgebra commutativa combinacional
• Base de Gröbner
• Àlgebra homològica

Referències

• Michael Atiyah & Ian G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Massachusetts : Addison-Wesley Publishing, 1969.
• Bourbaki, Nicolas, Commutative algebra. Chapters 1--7. Translated from the French. Reprint of the 1989 English translation. Elements of Mathematics (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1998. xxiv+625 pp. ISBN 3-540-64239-0
• Bourbaki, Nicolas, Éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitres 8 et 9. (Elements of mathematics. Commutative algebra. Chapters 8 and 9) Reprint of the 1983 original. Springer, Berlin, 2006. ii+200 pp. ISBN 978-3-540-33942-7
• David Eisenbud, Commutative Algebra With a View Toward Algebraic Geometry, New York : Springer-Verlag, 1999.
• Rémi Goblot, "Algèbre commutative, cours et exercices corrigés", 2e édition, Dunod 2001, ISBN 2-10-005779-0
• Ernst Kunz, "Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry", Birkhauser 1985, ISBN 0-8176-3065-1
• Matsumura, Hideyuki, Commutative algebra. Second edition. Mathematics Lecture Note Series, 56. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980. xv+313 pp. ISBN 0-8053-7026-9
• Matsumura, Hideyuki, Commutative Ring Theory. Second edition. Translated from the Japanese. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1989. ISBN 0-521-36764-6
• Nagata, Masayoshi, Local rings. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 13. Interscience Publishers a division of John Wiley and Sons, New York-London 1962 xiii+234 pp.
• Miles Reid, Undergraduate Commutative Algebra (London Mathematical Society Student Texts), Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1996.
• Jean-Pierre Serre, Local algebra. Translated from the French by CheeWhye Chin and revised by the author. (Original title: Algèbre locale, multiplicités) Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2000. xiv+128 pp. ISBN 3-540-66641-9
• Sharp, R. Y., Steps in commutative algebra. Second edition. London Mathematical Society Student Texts, 51. Cambridge University Press, Cambridge, 2000. xii+355 pp. ISBN 0-521-64623-5
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre, Commutative algebra. Vol. 1, 2. With the cooperation of I. S. Cohen. Corrected reprinting of the 1958, 1960 edition. Graduate Texts in Mathematics, No. 28, 29. Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1975.

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Àlgebra commutativa

• List of Commutative Algebraists
• The Commutative Algebra Community