σ-àlgebra de Borel

àlgebra engendrada pels oberts d'un espai topològic

La σ-àlgebra de Borel associada a un espai topològic T és la més petita de les σ-àlgebres a T que contenen tots els oberts de T;[1] en altres paraules, és la σ-àlgebra generada pels conjunts oberts de T. Els elements de la σ-àlgebra de Borel s'anomenen conjunts de Borel o conjunts borelians o simplement borelians. L'existència i unicitat de la σ-àlgebra mínima es demostra construint-la com la intersecció de totes les σ-àlgebres que contenen T, ja que el resultat d'una intersecció d'un nombre arbitrari de σ-àlgebres és també una σ-àlgebra.[2]

De manera equivalent, es pot definir la σ-àlgebra de Borel com la menor de les σ-àlgebres que contenen tots els subconjunts tancats de T.

σ-àlgebra de Borel sobre ℝModifica

Un exemple particularment important és la σ-àlgebra de Borel al conjunt dels nombres reals   definida com la més petita de les σ-àlgebres a   que conté tots els intervals,[3] i que es designa per  . Altres caracteritzacions alternatives d'aquesta σ-àlgebra són (entre altres) les següents:[4] És la mínima σ-àlgebra a   que conté:

  • Tots els intervals oberts.
  • Tots els intervals tancats.
  • Tots els intervals de la forma   amb  .
  • totes les semirectes de la forma  .
  • totes les semirectes de la forma  .

Això és degut al fet que qualsevol classe d'intervals es pot obtenir a partir de les altres mitjançant operacions numerables. Per exemple,  . Encara més, utilitzant la densitat dels nombres racionals es pot veure que en les col·leccions d'intervals anterior n'hi ha prou amb considerar els intervals amb extrems racionals: per exemple,   és la σ-àlgebra generada per la família  .[5] Es diu que és una σ-àlgebra separable[6] o numerablement generada[7]

σ-àlgebra de Borel sobre ℝnModifica

De manera anàloga és defineix la σ-àlgebra de Borel sobre  , que es designa per  : és la menor σ-àlgebra que conté tots els oberts de   (o tots els tancats), i també admet diverses famílies de generadors, per exemple, els productes d'intervals oberts   o semioberts  , etc., que a més poden agafar-se amb d'extrems racionals [5]

Vegeu tambéModifica

ReferènciesModifica

  1. Dellacherie, Claude.. Probabilités et potentiel. Ed. entièrement refondue. París: Hermann, ©1975-<c1992>. ISBN 2705613722. 
  2. Schilling, René L.. Measures, integrals and martingales. Cambridge: Cambridge University Press, 2005, p. 19. ISBN 9780511647987. 
  3. Bonet, Eduard. Espais de probabilitat finits. Barcelona: Editorial lavínia, S. A., 1969, p. 132. 
  4. Schilling, René L.. Measures, integrals and martingales. Cambridge: Cambridge University Press, 2005, p. 18. ISBN 9780511647987. 
  5. 5,0 5,1 Schilling, René L.. Measures, integrals and martingales. Cambridge: Cambridge University Press, 2005, p. 22. ISBN 9780511647987. 
  6. Neveu, Jacques, (1932- ...). Bases mathématiques du calcul des probabilités. 2ème édition revue et corrigée. París: Masson et Cie, 1970, p. 14. ISBN 2-225-61787-2. 
  7. Ash, Robert B.. Probability and measure theory. 2nd ed. San Diego: Harcourt/Academic Press, 2000, p. 121. ISBN 0-12-065202-1.