σ-àlgebra de Borel

La σ-àlgebra de Borel associada a un espai topològic T és la més petita de les σ-àlgebres sobre T que conté tots els conjunts oberts de T (o, equivalentment, tots els conjunts tancats de T); en altres paraules, és la σ-àlgebra generada pels conjunts oberts (o tancats) de T. Els elements de la σ-àlgebra de Borel s'anomenen conjunts de Borel o conjunts borelians o simplement borelians. L'existència i unicitat d'aquesta σ-àlgebra es demostra construint-la com la intersecció de totes les σ-àlgebres que contenen T, ja que el resultat d'una intersecció d'un nombre arbitrari de σ-àlgebres és també una σ-àlgebra.

Propietats

Designarem per ${\mathcal {B}}(T)$ la $\sigma$-àlgebra de Borel sobre espai topològic $T$

σ-àlgebra de Borel sobre un subconjunt

Recordem que si ${\mathcal {E}}$ és una $\sigma$-àlgebra sobre un conjunt $E$ i $C\subset E$ és un subconjunt arbitrari, aleshores la família de conjunts $${\mathcal {E}}|_{C}=\{C\cap A:\,A\in {\mathcal {E}}\}$$és una $\sigma$-àlgebra sobre $C$ que s'anomena la $\sigma$-àlgebra traça sobre $C$.

Sigui $T$ un espai topològic i considerem un subconjunt $C\subset T$ amb la topologia traça o topologia induïda) i la corresponent $\sigma$-àlgebra de Borel sobre $C$, ${\mathcal {B}}(C)$ . Aleshores $${\mathcal {B}}(C)={\mathcal {B}}(T)|_{C}.$$

σ-àlgebra de Borel sobre un producte de conjunts

Siguin $(E_{1},{\mathcal {E}}_{1})$ i $(E_{2},{\mathcal {E}}_{2})$ dos espais mesurables. Recordem que la $\sigma$-àlgebra producte ${\mathcal {E}}_{1}\otimes {\mathcal {E}}_{2}$ sobre $E_{1}\times E_{2}$ és la $\sigma$-àlgebra generada pels conjunts de la forma $A_{1}\times A_{2}$, amb $A_{1}\in {\mathcal {E}}_{1}$ i $A_{2}\in {\mathcal {E}}_{2}$.

Siguin $T_{1}$ i $T_{2}$ dos espais topològics i considerem $T_{1}\times T_{2}$ amb la topologia producte. Aleshores $${\mathcal {B}}(T_{1})\otimes {\mathcal {B}}(T_{2})\subset {\mathcal {B}}(T_{1}\times T_{2}).$$A més, si $T_{1}$ i $T_{2}$ són espais mètrics separables, llavors val la igualtat:$${\mathcal {B}}(T_{1})\otimes {\mathcal {B}}(T_{2})={\mathcal {B}}(T_{1}\times T_{2}).$$

σ-àlgebra de Borel sobre el conjunt del nombres reals

Un exemple particularment important és la σ-àlgebra de Borel sobre el conjunt dels nombres reals ${\mathbb {R} }$, que designarem per ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ . Donat que tot conjunt obert de ${\mathbb {R} }$ és la reunió d'un nombre finit o infinit numerable d'intervals oberts disjunts, ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ és la mínima σ-àlgebra sobre ${\mathbb {R} }$ que conté tots els intervals oberts de ${\mathbb {R} }$. Tenim les següents caracteritzacions (entre altres): És la mínima σ-àlgebra a ${\mathbb {R} }$ que conté:

• Tots els intervals oberts.
• Tots els intervals tancats.
• Tots els intervals de la forma $[a,b)$ amb $a<b$.
• totes les semirectes de la forma $(-\infty ,a]$.
• totes les semirectes de la forma $[a,\infty )$.

Això és degut al fet que qualsevol classe d'intervals es pot obtenir a partir de les altres mitjançant operacions numerables. Per exemple, $(a,b)=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\Big [}a+{\frac {1}{n}},b{\Big )}$. Encara més, utilitzant la densitat dels nombres racionals es pot veure que en les col·leccions d'intervals anteriors n'hi ha prou amb considerar els intervals amb extrems racionals: per exemple, ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ és la σ-àlgebra generada per la família ${\big \{}(-\infty ,a],\ a\in \mathbb {Q} {\big \}}$. Es diu que és una σ-àlgebra separable o numerablement generada

Una propietat important és que ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ té el mateix cardinal que ${\mathbb {R} }$ $${\text{Card}}{\big (}{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ){\big )}={\text{Card}}(\mathbb {R} )={\mathfrak {c}}.$$

σ-àlgebra de Borel sobre ℝⁿ

De manera anàloga és defineix la σ-àlgebra de Borel sobre $\mathbb {R} ^{n}$, que es designa per ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$: és la menor σ-àlgebra que conté tots els oberts de $\mathbb {R} ^{n}$ (o tots els tancats), i també admet diverses famílies de generadors, per exemple, els productes d'intervals oberts $(a_{1},b_{1})\times \cdots \times (a_{n},b_{n})$ o semioberts $[a_{1},b_{1})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})$, etc., que a més poden agafar-se amb d'extrems racionals.

Tenim que $${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\otimes \cdots \otimes {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).$$

Vegeu també

• Sigma-àlgebra
• Mesura (matemàtiques)
• Espai de probabilitat
• Conjunt obert