3-varietat

En topologia de dimensions baixes, les 3-varietats són un camp que estudia varietats topològiques de tres dimensions. És a dir, espais de Hausdorff que són localment homeomorfs en l'espai euclidià $\mathbb {R} ^{3}$.

Se sap que les categories topològiques, diferenciables i PL són totes equivalents per al cas de 3-varietats, de manera que poca distinció es presta a quina categoria s'està usant.

Aquesta part de la matemàtica té una estreta connexió amb altres camps d'estudi com les superfícies, les 4-varietat, la teoria de nusos, les teories de camp quàntic, les teories de calibratge i les equacions en derivades parcials. Es diu també que la teoria de 3-varietats és part de la topologia geomètrica.

Una idea clau per a estudiar aquests objectes és considerar superfícies encaixades en aquests. Això condueix a la idea de superfície incompressible (incompressible surface) i la teoria de varietats de Haken, en què un pot triar de tal manera que les peces complementàries siguin menys complexes, la qual cosa condueix a la noció de jerarquies o la descomposició mitjançant cubs amb nanses o també les anomenades descomposicions de Heegaard.

Exemples sense frontera

Com a primeres mostres de la gran varietat d'objectes, pensem en espais compactes i sense frontera: un primer exemple, la 3-esfera $S^{3}\,$. Un altre més és l'espai projectiu $\mathbb {R} P^{3}$. És possible obtenir espais de tres dimensions amb el producte cartesià:

$S^{2}\times S^{1}$

$\mathbb {R} P^{2}\times S^{1}$

$T\times S^{1}$

$K\times S^{1}$

O bé fibrats de la manera $S^{1}\subset E\to \Sigma$, en què $\Sigma$ és un orbifold: aquests són els fibrats de Scott-Seifert,indispensables per a entendre les modernes classificacions de les 3-varietats.

També tenim els fibrats de les maneres $F\subset E\to S^{1}$, i és $F$ una superfície tancada. Aquests són font d'exemples molt importants.

Exemples amb frontera

Hi ha 3-varietats amb frontera, com la 3-bola unitària $D^{3}\,$ o el tor sòlid $D^{2}\times S^{1}$, les fronteres són les 2 - esfera i el tor, respectivament. L'ampolla de Klein sòlida és un altre exemple de tres varietat amb frontera que és una superfície una ampolla de Klein.

També hi ha tots els fibrats de la forma

$I\subset E\to F$ (I-bundles)

on $I$ és un interval i $F$ una superfície. Exemple és el fibrat (orientable) per interval sobre l'ampolla de Klein, ${\widetilde {K\times I}}/O$, que és el $I$-bundle que construeix enganxant dos tors sòlids identificant dos cèrcols a la frontera, un a cada un d'ells. Cada un d'aquests cercles és la veïnatge regular d'una corba $(2,1)\,$ dues-longituds i un meridià , ie un nus ric. Sabem que la seva frontera, $\partial ({\widetilde {K\times I}}/O)$, és un tor $S^{1}\times S^{1}$. A més ${\widetilde {K\times I}}/O$ correspon a ${\widetilde {M{\ddot {o}}\times S^{1}}}$.

Un altre exemple és el producte cartesià $M{\ddot {o}}\times S^{1}$ de la banda de Möbius amb el cercle i el qual és ${\widetilde {T\times I}}$ i és diferent de ${\widetilde {K\times I}}/O$.

També la frontera $\partial (M{\ddot {o}}\times S^{1})$ és $(\partial M{\ddot {o}})\times S^{1}$, la qual també és un tor $S^{1}\times S^{1}$.

Tipus de 3-varietats

• Complements de nusos i enllaços (knots and links)
• Fibrat de Seifert, fibrat clàssic de Seifert. Fibrat de Scott
• Espais tipus lent (lens spaces)
• Fibrat de superfície (surface bundles) sobre el cercle
• Varietats de Haken
• Graph manifolds
• Esferes homològiques.

Resultats Fonamentals

• Teorema de Descomposició Prima
• Teorema de Moise
• Descomposició de JSJ
• Teoremes del Llaç i l'Esfera (que generalitzen el Lema de Dehn).
• Teorema de geometrització per varietats de Haken
• Teorema de Lickorish-Wallace

Problemes famosos

• Conjectura de Poincaré
• Geometrització de Thurston
• Conjectura de la fibració virtual.
• Conjectura de ser virtualment Haken.

Referències

• Hempel, John. 3-manifolds. Providence, RI: American Mathematical Society, 2004. ISBN 0-8218-3695-1. 
• Jaco, William H. Lectures on three-manifold topology. Providence, RI: American Mathematical Society, 1980. ISBN 0-8218-1693-4. 
• Rolfsen, Dale. Knots and Links. Providence, RI: American Mathematical Society, 1976. ISBN 0-914098-16-0. 
• Thurston, William P. Three-dimensional geometry and topology. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997. ISBN 0-691-08304-5. 
• Adams, Colin Conrad. The Knot Book. An elementary introduction to the mathematical theory of knots. Revised reprint of the 1994 original.. Providence, RI: American Mathematical Society, 2004, p. xiv+307. ISBN 0-8050-7380-9. 
• Bing, R. H.. The Geometric Topology of 3-Manifolds. 40. Providence, RI: American Mathematical Society, 1983, p. x+238. ISBN 0-8218-1040-5. 

Enllaços externs

• A. Hatcher Basic topology of 3-manifolds . Que està en línia disponible en aquest enllaç