Anell commutatiu

estructura algebraica

En teoria d'anells (una branca de l'àlgebra abstracta), un anell commutatiu és un anell (R, +, ·) en què l'operació de multiplicació · és commutativa, és a dir, si per qualsevol , .[1][2]

Si addicionalment l'anell té un element unitari 1 tal que 1a = a = a1 per a tot a, llavors l'anell s'anomena anell commutatiu unitari.[3]

La branca de la teoria d'anells que estudia els anells commutatius s'anomena àlgebra commutativa.

Definició

modifica

Un anell és un conjunt   equipat amb dues operacions binàries, és a dir, operacions que combinen dos elements qualssevol de l'anell en un tercer. S'anomenen addició i multiplicació i es denoten habitualment com " " i " "; per exemple   i  . Per poder formar un anell, aquestes dues operacions han de satisfer un seguit de propietats: l'anell ha de ser un grup abelià en la suma així com un monoide sota la multiplicació, on la multiplicació és distributiva respecte l'addició; és a dir,  . Es denoten amb   i   els elements identitat de l'addició i la multiplicació, respectivament.

Si la multiplicació és commutativa, és a dir, si   llavors l'anell   és commutatiu. En la resta de l'article, tots els anells seran commutatius, excepte si s'afirma el contrari explícitament.

Exemples

modifica
 
Dona un resultat diferent que si s'inverteix l'ordre dels factors:
 
  • Si n > 0 és un enter, el conjunt Z n d'enters mòdul n forma un anell commutatiu amb n elements.
  • Si R és un anell commutatiu, el conjunt de polinomis de variable X amb coeficients en R forma un nou anell commutatiu, denotat per  .
  • El conjunt de nombres racionals de denominador imparell forma un anell commutatiu, estrictament contingut en l'anell Q dels racionals, i que conté pròpiament als i Z dels enters.

Divisibilitat

modifica

A diferència dels cossos, on tot element no zero és multiplicativament invertible, el concepte de divisibilitat per anells és més ric. Un element   de l'anell   és anomenat un element invertible si posseeix un invers multiplicatiu en l'anell. Un altre tipus particular d'element és el divisor de zero, és a dir un element   tal que existeix un element no zero   en l'anell tal que  . Si   no posseeix cap divisor de zero, s'anomena un anell íntegre (o domini íntegre). Un element   que satisfà   per un cert enter positiu   és anomenat nilpotent.

Localitzacions

modifica

La localització d'un anell és el procés pel qual alguns elements es fan invertibles, és a dir s'afegeixen inversos multiplicatius a l'anell. Més concretament, sigui   un subconjunt tancat multplicativament de   (és a dir, per tot   es té que  ) llavors la localització de   a  , o l'anell de fraccions amb denonadors en  , normalment denotat   consisteix dels símbols

  with  

subjectes a certes normes que imiten la cancel·lació familiar dels nombres racionals. En efecte, en aquest llenguatge   és la localització de   en tots els enters no zero. Aquesta construcció funciona per tot domini íntegre   en lloc de  . La localització   és un cos, anomenat el cos quocient d' .

Propietats

modifica
  • Si f : R S és un homomorfisme d'anells entre R i S , S és commutatiu, i f és injectiva (és a dir, un monomorfisme), R també ha de ser commutatiu, car  .
  • Si f : R S és un homomorfisme d'anells entre R i S , amb R és commutatiu, la imatge f ( R ) de R serà també commutativa, en particular, si f és sobrejectiva (és a dir, un epimorfisme), S serà commutatiu també.

Els anells commutatius són més interessants quan a més a més són unitaris, és a dir, els anells commutatius unitaris.

Ideals i mòduls

modifica

Moltes de les següents nocions també existeixen no necessàriament per anells commutatius, però les definicions i propietats són normalment més complicades. Per exemple, tots els ideals en un anell commutatiu tenen automàticament dos costat, cosa que simplifica considerablement la situació.

Mòduls

modifica

Per un anell  , un mòdul-    és com el que un espai vectorial és per un cos. És a dir, els elements en un mòdul poden ser sumats; poden ser multiplicats per elements de   subjectes als mateixos axiomes que els espais vectorials.

L'estudi de mòduls és significativament més complicat que el d'espais vectorials ja que hi ha mòduls que no tenen cap base, és a dir, que no contenen cap espai vectorial generat els elements del qual siguin linealment independents. S'anomenen mòduls lliures aquells que tenen una base i un submòdul d'un mòdul lliure no necessàriament ho és.

Un mòdul de tipus finit és un mòdul que té un espai vectorial generat finit. Els mòduls de tipus finit tenen un paper fonamental en la teoria d'anells commutatius, de manera similar al paper que tenen els espais vectorials de dimensió finita en l'àlgebra lineal. En particular, es poden definir els anells noetherians com anells en què cada submòdul d'un mòdul de tipus finit és també de tipus finit.

Els ideals d'un anell   són els submòduls de  , és a dir, els mòduls continguts en  . Més detalladament, un ideal   és un subconjunt no buit de   tal que per tot   en  ,   i   en  , tant   com  són en  . En diverses aplicacions, entendre els ideals d'anells és particularment important, però sovint es procedeix estudiant els mòduls en general.

Qualsevol anell té dos ideals: l'ideal zero   i  , l'anell complet. Aquests dos anells són els únics precisament si   és un cos. Donat un subconjunt qualsevol   de   (on   és un cert conjunt d'índexs), l'ideal generat per   és l'ideal més petit que conté  . De forma equivalent, ve donat per combinacions lineals finites  

Dominis d'ideals principals

modifica

Si   consisteix en un únic element  , l'ideal generat per   està format pels múltiples de  , és a dir, els elements de la forma   per   arbitraris. Aquests ideals s'anomenen ideals principals. Si tot ideal és un ideal principal, s'anomena   anell d'ideal principal; dos importants casos són   i  , l'anell dels polinomis sobre un cos  . Aquests dos són a més dominis, així que reben el nom de dominis d'ideals principals.

A diferència dels anells en general, en un domini d'ideals principal, les propietats d'elements individuals estàn fortament lligades a les propietats de l'anell com un tot. Per exemple, tot domini d'ideals principals   és un anell de factorització única en el sentit que tot element és el producte d'elements irreductibles, d'una forma única (sense tenir en compte la reordenació dels factors). Aquí, un element a en un domini rep el nom d'irreductible si l'única manera d'expressar-lo com a producte   és fent que o bé   o bé   siguin la unitat. Un exemple, important en la teoria de cossos, són polinomis irreductibles, és a dir, elements irreducibles en  , per un cos  . El fet que   és un anell de factorització única es pot afirmar de forma més elemental dient que qualsevol nombre natural pot ser descompost de forma únicai com a producte de potències de nombres primers. Aquest enunciat també es coneix com el teorema fonamental de l'aritmètica.

Un element   és un element primer si sempre que   divideix un producte  ,   divideix   o  . En un domini, ser un element primer implica ser irreductible. El contrari és també veritat en un domini de factorització única, però és fals en general.

L'anell factor

modifica

La definició dels ideals és tal que "dividir entre"   dona lloc a un altre anell, l'anell factor   /  : és el conjunt de les classes laterals de   juntament amb les operacions   i  . Per exemple, l'anell   (també denotat  ), on   és un enter, és l'anell d'enters mòdul  . És la base de l'aritmètica modular.

Un ideal és propi si és estrictament més petit que l'anell complet. Un ideal que no està estrictament contingut en cap ideal propi rep el nom de maximal. Un ideal   és maximal si i només si   /   és un cos. Excepte per l'anell nul, tot anell (amb la identitat) conté com a mínim un ideal maximal; això és una conseqüència del lema de Zorn.

Anells noetherians

modifica

Es diu que un anell és noetherià (en honor a Emmy Noether, que va desenvolupar aquest concepte) si tota cadena ascendent d'ideals   esdevé estacionària, és a dir es torna constant més enllà d'un cert índex  . De forma equivalent, tot ideal és generat a partir d'un nombre finit d'elements, i, encara equivalentment, els submòduls de mòduls generats finitament són generats finitament.

La condició de finititud de Noether és altament important i es preserva sota moltes operacions que es donen freqüentment en geometria. Per exemple, si   és notherià, llavors també ho és l'anell de polinomis   (per mitjar del teorema de la base de Hilbert), tota localització  , i també tot anell factor   /  .

Qualsevol anell no-noetherià   és la unió dels seus subanells noetherians. Aquest fet, conegut com l'aproximació noetheriana, permet l'extensió de certs teoremes a anells no noatherians.

Anells artinians

modifica

Es diu que un anell és artinià (en honor a Emil Artin), si tota cadena descendent d'ideals   esdevé finalment estacionària. Tot i que les dues condicions semblen simètriques, els anells noetherians són molt més generals que els anells artinians. Per exemple,   és noetherià, ja que tot ideal pot ser generat per un element, però no és artinià, com mostra la cadena   De fet, a partir del teorema de Hopkins–Levitzki, tot anell artinià és noetherià. Més precisament, els anells artinians poden ser caracteritzats com a anells noetherians la dimensió de Krull dels quals és zero.

Referències

modifica
  1. «commutative ring | mathematics | Britannica» (en anglès). [Consulta: 29 gener 2022].
  2. «Commutative ring - Encyclopedia of Mathematics». [Consulta: 29 gener 2022].
  3. 3,0 3,1 «Commutative Rings and Fields». [Consulta: 2 febrer 2022].

Bibliografia complementària

modifica