Aplicació contractiva

Dins l'anàlisi matemàtica, una contracció, funció o aplicació contractiva entre dos espais mètrics (X, d_X) i (Y, d_Y) és una funció o aplicació f de X en Y, per a la qual hi ha un nombre real positiu k inferior a 1 tal que, per qualssevol elements u i v de X,

d_Y(f(u), f(v)) ≤ k d_X(u, v).

És a dir, les funcions contractives són les funcions lipschitzianes la constant de Lipschitz de les quals és menor que 1.

El valor més petit de k pel qual es compleix la condició anterior s'anomena constant de Lipschitz de f. Si la condició anterior se satisfà per k ≤ 1 (notem que k pot ser igual a 1), llavors hom diu que l'aplicació és no expansiva.

Tota aplicació contractiva és una funció de Lipschitz i, per tant, uniformement contínua (per a una funció contínua Lipschitz, la constant k ja no ha de ser necessàriament més petita que 1).

Una aplicació contractiva té, com a màxim, un punt fix. Addicionalment, el teorema del punt fix de Banach afirma que tota aplicació contractiva sobre un espai mètric complet no buit té un únic punt fix, i que per a qualsevol x de M, la successió de funcions iterades x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), ... convergeix al punt fix. Aquest concepte és força útil a l'hora de demostrar l'existència de solucions d'equacions diferencials ordinàries, i s'utilitza en una demostració del teorema de la funció inversa.

Aplicació firmement no expansiva

Una aplicació no expansiva amb $k=1$ es pot reforçar cap a una aplicació firmement no expansiva sobre un espai de Hilbert H si se satisfà la següent condició per a qualssevol x i y de H:

$\|f(x)-f(y)\|^{2}\leq \,\langle x-y,f(x)-f(y)\rangle .$

on

$d(x,y)=\|x-y\|$

Aquest és un cas especial dels operadors no expansius de mitjana $\alpha$ amb $\alpha =1/2$. Una aplicació firmement no expansiva sempre és no expansiva, a conseqüència de la desigualtat de Cauchy-Schwarz.

Aplicació subcontractiva

Una aplicació subcontractiva o un subcontractor és una aplicació f sobre un espai mètric (M,d) tal que

$d(f(x),f(y))\leq d(x,y)\ ;$

$d(f(f(x)),f(x))<d(f(x),x)\quad {\text{excepte}}\quad x=f(x)\ .$

Si la imatge d'un subcontractor f és compacta, llavors f té un punt fix.

Bibliografia

• Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7 provides an undergraduate level introduction.
• Goldstein, A.A.. Constructive real analysis. Nova York-Evanston-London: Harper and Row, 1967. 
• Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5
• William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2

Vegeu també

• Teorema del punt fix de Banach