En teoria de nombres, el nombre enter és una arrel primitiva mòdul n si pertany a l'exponent , és a dir, si és l'exponent no negatiu més petit que fa , on és la funció Fi d'Euler. Des del punt de vista de la teoria de grups, que sigui una arrel primitiva mòdul és el mateix que dir que , el grup multiplicatiu de les unitats de l'anell ℤ/(n), és cíclic i que la classe de n'és un generador.

Existència d'arrels primitives modifica

  • Si n és 2 o 4, hom comprova fàcilment, només escrivint-ne la taula, que el grup   és cíclic: 1 és una arrel primitiva mòdul 2 i 3 ho és mòdul 4.
  • En canvi, si n és  , amb k > 2, el grup   ja no és cíclic, com resulta immediatament de la congruència  . En efecte, com que  , és clar que els grups   no són cíclics, perquè 2 és el màxim dels ordres dels elements d'aquests grups.
  • Per a nombres primers senars, p, els grups   són tots cíclics, per qualsevol valor de k > 0.
  • Per a un nombre n qualsevol, si   n'és la descomposició en factors primers, el grup   és isomorf al producte directe dels grups  . Tenint en compte quins d'aquests factors són grups cíclics i el fet que el producte és cíclic si, i només si, els factors ho són i els ordres respectius són coprimers, resulta que   és cíclic si, i només si, el nombre n és d'una d'aquestes quatre formes: 2, 4, pk o 2pk. En conseqüència, hi ha arrels primitives mòdul n si, i només si, el nombre n és d'una d'aquestes quatre formes.

Obtenció d'arrels primitives modifica

  • Pel mòdul 2 només hi ha l'arrel primitiva 1 i, pel mòdul 4, només 3 ho és.
  • Si a és una arrel primitiva mòdul p (amb p un nombre primer senar) aleshores, o bé a, o bé a + p és una arrel primitiva mòdul p².
  • Si a és una arrel primitiva mòdul p² (amb p un nombre primer senar), aleshores a també és una arrel primitiva mòdul pk, per tot k > 1.

Per tant, calcular arrels primitives mòdul pk és ben senzill: a partir de les arrels primitives mòdul p es calculen les arrels primitives mòdul p² i, d'aquí, les de mòdul pk, per qualsevol k > 1.

De fet, el càlcul de les arrels primitives mòdul p és molt llarg i dificultós i poca cosa més es pot fer a part de cerques exhaustives, per la qual cosa, la importància de les arrels primitives és molt gran en criptografia.

S'ha demostrat que l'arrel primitiva més petita mòdul p és de l'ordre de  ,[1] i si es demostra que la hipòtesi generalitzada de Riemann és certa, aquest límit superior es podria millorar a un valor de  .[2]

Referències modifica

  1. Burgess, D. A. «The distribution of quadratic residues and non-residues». Mathematika, 4, 1957, pàg. 106-112.
  2. Bach, Eric «Explicit bounds for primality testing and related problems». Math. Comp., 55, pàg. 355-380.

Bibliografia modifica

  • Gauß, Carl Friedrich; Pascual Xufré, Griselda (trad.). Disquisicions aritmètiques (orig. Disquisitiones Arithmeticæ) (en llatí originalment). edició en català. Barcelona: Societat Catalana de Matemàtiques (IEC), 1996. 
  • Hardy, G. H.; Wright, E. M.. An Introduction to the Theory of Numbers (en anglès). Oxford: Clarendon Press, 1983. 
  • Ireland, Kenneth; Rosen, Michael. A Classical Introduction to Modern Number Theory (en anglès). Springer-Verlag, 1990 (Graduate Texts in Mathematics). ISBN 9780387973296.