Atractor de Lorenz

L'atractor de Lorenz, concepte introduït per Edward Lorenz el 1963, és un sistema dinàmic determinista tridimensional no lineal derivat de les equacions simplificades de rotllos de convecció que es produeixen en les equacions dinàmiques de l'atmosfera terrestre.

L'atractor de Lorenz, amb valores r = 28, σ = 10, b = 8/3.

Projecció d'un atractor de Lorenz tridimensional.

Per alguns valors dels paràmetres $a,b,c$ el sistema exhibeix un comportament caòtic i mostra el que actualment s'anomena un atractor estrany, això va ser provat per W. Tucker el 2001. L'atractor estrany en aquest cas és un fractal de dimensió de Hausdorff entre 2 i 3. Grassberger (1983) ha estimat la dimensió de Hausdorff en 2.06 ± 0.01 i la dimensió de correlació en 2.05 ± 0.01.

El sistema apareix en làsers, en generadors elèctrics i en determinades rodes d'aigua. El model és un sistema de tres equacions diferencials ordinàries, conegudes com les equacions de Lorentz:

${\frac {dx}{dt}}=a(y-x)$

${\frac {dy}{dt}}=x(b-z)-y$

${\frac {dz}{dt}}=xy-cz$

on a s'anomena el Nombre de Prandtl i b s'anomena el nombre de Rayleigh.

$a,b,c>0$, però és normalment $a=10$, $c=8/3$ i b és variat. El sistema exhibeix un comportament caòtic per a $b=28$ però mostra òrbites periòdiques per a altres valors de b, per exemple, amb $b=99.96$ es converteix en un nus tòric anomenat T (3,2).

La forma de papallona de l'atractor de Lorenz pot haver inspirat el nom de l'efecte papallona en la teoria del Caos.

Vegeu també

• Teoria del caos

Bibliografia

• Lorenz, E. N. «Deterministic nonperiodic flow». J. Atmos. Sci., 20 p. 130-141, 1963.
• Frøyland, J., Alfsen, K. H. «Lyapunov-exponent spectra for the Lorenz model». Phys. Rev. A, 29 p. 2928–2931, 1984.
• Strogatz, Steven H.. Perseus publishing. Nonlinear Systems and Chaos, 1994. 
• Jonas Bergman, Knots in the Lorentz system, Undergraduate thesis, Uppsala University 2004.
• P. Grassberger and I. Procaccia «Measuring the strangeness of strange attractors». Physica D, 9 p. 189-208, 1983. 10.1016/0167-2789(83)90298-1.

Enllaços externs

• Lorenz Attractor (mathworld article) (anglès)
• Lorenz Equation Arxivat 2009-06-07 a Wayback Machine. planetmath.org (anglès)
• Levitated.net: computational art and design (anglès)
• The Lorenz Attractor in 3D (anglès)
• Teoría del Caos por Pedro José Morales Correas (castellà)