Obre el menú principal

Binomi de Newton

fórmula algebraica que desenvolupa les potències d'un binomi
Visualització de l'expansió fins a la quarta potència del binomi

El Binomi de Newton[1][2][3] o teorema del binomi és una fórmula que serveix per a calcular la potència d'un binomi . És per tant una generalització de les fórmules elementals i . Aquestes dues formen part del que s'anomenen Identitats notables, i admeten una demostració gràfica elemental en termes d'àrees de quadrats i rectangles, i volums de cubs i paral·lelepípedes.

La fórmula general utilitza nombres combinatoris, i diu:

on el coeficient binomial és el nombre combinatori definit com a , que es llegeix " sobre ". El conjunt dels coeficients binomials ordenats en fileres amb creixent de dalt a baix constitueixen l'anomenat Triangle de Tartaglia, Triangle de Pascal o Triangle aritmètic.

Exemples:

  • per  :
  • per  :

Quan tenim , n'hi ha prou amb escriure-ho com a , amb el que s'obté , i, en general,

.

La fórmula és molt anterior a Newton. La seva història pot trobar-se a l'article Potència d'un Binomi de R. Nolla esmentat més avall com a enllaç extern.

DemostracióModifica

Raonament combinatoriModifica

Tenint en compte l'expressió  , veiem que   es pot escriure com el producte de   binomis,  , on cada  , i el desenvolupament de   és la suma de tots els productes formats agafant un terme – ja sigui   o   – de cada  . Per exemple, el terme   en el desenvolupament de   s'obté seleccionant   en cada  .

El coeficient que multiplica cada terme del desenvolupament de   queda determinat per la quantitat de formes diferents que hi ha per triar termes   tals que el seu producte és de la mateixa forma que el terme (excloent el coeficient). En el cas de  ,   es pot formar a base d'agafar   d'un dels   i   de tota la resta. Hi ha   formes de seleccionar un   per obtenir la  ; per tant   s'obté de   formes diferents en el desenvolupament de  , i per tant el seu coeficient és  . En general, per  , hi ha

 

Formes diferents de seleccionar els   per obtenir els  s (ja que    s se seleccionen a partir de    ), i per tant aquest ha de ser el coeficient per a  .

Demostració algebraicaModifica

Una altra forma de demostrar el teorema binomial és per inducció. Quan  , es té

 

Per hipòtesi d'inducció se suposa que el teorema és veritat quan l'exponent val  . Llavors per  

  

Aplicant la propietat distributiva

 

Traient fora del sumatori el terme  

 

fent  

 

Traient fora del sumatori de la dreta el terme  

 

Combinant els sumatoris

 

Aplicant la regla de Pascal

 

Afegint dins dels sumatori els termes  

 

La sèrie binomialModifica

Si escrivim   podem anomenar   i escriure   en lloc de  . La funció  rep el nom de funció binomial i té sentit també si   és un nombre complex qualsevol. La seva sèrie de Mclaurin té radi de convergència més gran o igual que 1, segons el valor de  , i es coneix com a sèrie binomial o expansió binomial.[4][5] Aquesta generalitza el Binomi de Newton  , que és el cas en què   és un nombre natural.

 

on  , (regla mnemotècnica: hi ha   factors en el numerador i   factors en el denominador).

Per exemple, quan   i   dona la sèrie següent:

 .

I quan   i  ;

 .

ObservacionsModifica

A les demostracions anteriors es veu que és essencial la propietat commutativa  . Si, per exemple,   i   fossin dues matrius que no commutessin, aleshores tindríem simplement   o  .

El Binomi de Newton és molt útil per al càlcul mental. Per exemple, calcular   és molt fàcil si s'escriu com a  .

Observi's que la suma dels coeficients binomials del binomi de grau   és igual a  i la suma dels coeficients que jauen en els llocs senars coincideix amb la suma dels que jauen en els llocs parells.

El terme   quan   i   és la probabilitat que el nombre d'èxits sigui exactament   en una seqüència de   assaigs independents amb una probabilitat fixa   d'ocurrència de l'èxit entre els assaigs. A aquesta distribució de probabilitat se li dona el nom de distribució binomial.

La primera aparició escrita de la sèrie binomial va ser en una carta de Newton a Henry Oldenburg, Secretari de la Royal Society, el 1676.[6] Newton va usar el binomi i la distribució binomial el 1693 per a resoldre un problema sorgit en un joc de daus, per encàrrec de la casa reial de Guillem III.[7]

ComentarisModifica

És famós el vers del poeta portuguès Fernando Pessoa: O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo./ O que há é pouca gente para dar por isso. [8] (El binomi de Newton és tan bell com la Venus de Milo./ El que passa és que poques persones ho noten.)

ReferènciesModifica

  1. Rosa Mateu Martínez, Montserrat Torras i Conangla (Coords.). Diccionari de matemàtiques i estadística (en català). Barcelona: Universitat Politècnica de Catalunya, Enciclopèdia Catalana, 2002. ISBN 8441227926. 
  2. Råde, Lennart; Westergren, Bertil. Mathematics Handbook for Science and Engineering. Springer. ISBN 978-3-662-08549-3. 
  3. Bronshtein, I.; Semendiaev, K.. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes (en castellà). Moscou: MIR, 1977. 
  4. M. Abramowitz; I. A. Stegun (eds.). [people.math.sfu.ca/~cbm/aands/abramowitz_and_stegun.pdf Handbook of Mathematical Functions: with formulas, graphs, and mathematical tables] (en anglès). Dover, 1970. ISBN 0486612724. 
  5. F.W.J. Oliver, et al. (eds.). NIST Handbook of Mathematical functions. Cambridge: Cambridge University Press, 2010. ISBN 9780521140638. 
  6. Suzuki, Jeff. Mathematics in Historical Context (en anglès). The Mathematical Association of America, p. 226. ISBN 978-0-88385-570-6. 
  7. Suzuki, Jeff. Mathematics in Historical Context (en anglès). The Mathematical Association of America, p. 233. ISBN 978-0-88385-570-6. 
  8. «"Arquivo Pessoa: Obra Édita - O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo".» (en portuguès). arquivopessoa.net. [Consulta: 24 novembre 2017].

Vegeu tambéModifica

Enllaços externsModifica