Obre el menú principal

Matriu de Jordan

(S'ha redirigit des de: Bloc de Jordan)

En teoria matemàtica de matrius, un bloc de Jordan sobre un anell (les identitats del qual són el zero 0 i l'u 1)[nb 1] és una matriu amb entrades 0 arreu excepte a la diagonal, que conté un element fixat , i a la superdiagonal, que conté el valor 1. Aquest concepte pren el nom de Camille Jordan.

Cada bloc de Jordan està, doncs, determinat per la seva dimensió n i el seu valor propi , i es simbolitza per .

Tota matriu diagonal per blocs formada per blocs de Jordan s'anomena matriu de Jordan; usant o bé la suma directa o el símbol "", es denota per o bé la matriu diagonal per blocs quadrada de dimensió que té per primer bloc , per segon bloc i per tercer bloc .

Per exemple, la matriu

és una matriu de Jordan amb un bloc de valor propi , dos blocs amb valor propi la unitat imaginària i un bloc amb valor propi 7. La seva estructura en blocs de Jordan també pot ser escrita com o com .

Àlgebra linealModifica

Tota matriu quadrada   de dimensió   amb elements d'un cos algebraicament tancat   és semblant a una matriu de Jordan  , que també pertany a   (l'anell de matrius quadrades   amb elements de  ), i que a més és única llevat de permutacions dels seus blocs diagonals. Hom diu que   és la forma canònica de Jordan d'  i correspon a una generalització del procés de diagonalització. Una matriu diagonalitzable A es pot considerar un cas particular de la forma canònica de Jordan, en què tots els seus blocs són de dimensió  .

Més generalment, donada una matriu de Jordan   (és a dir, on el bloc diagonal k-sim,  , és el bloc de Jordan  , i on els elements diagonals   no tenen per què ser tots diferents), la multiplicitat geomètrica de   per la matriu  , simbolitzada per  , correspon al nombre de blocs de Jordan que tenen valor propi  . Per altra banda, l'índex d'un valor propi   de  , simbolitzat per  , es defineix com la dimensió del bloc de Jordan més gran associat a aquest valor propi.

El mateix concepte aplica per tota matriu   semblant a  , de tal manera que   es pot definir considerant la forma canònica de Jordan d'  per qualsevol dels seus valors propis  . En aquest cas, es pot comprovar que l'índex de   en   és igual a la multiplicitat de   com a arrel del polinomi mínim d'  (on, per definició, la seva multiplicitat algebraica en  ,  , és la seva multiplicitat com a arrel del polinomi característic d' , és a dir,  ). Una condició necessària i suficient perquè   sigui diagonalitzable dins   és que tots els seus valors propis tinguin índex igual a  , és a dir, que el seu polinomi mínim tingui només arrels simples.

Des del punt de vista d'espais vectorials, la descomposició de Jordan-Chevalley és equivalent a trobar una descomposició ortogonal (és a dir, mitjançant suma directa d'espais propis representats per blocs de Jordan) del domini format per la base dels vectors propis generalitzats associats.

Equacions diferencials ordinàries linealsModifica

L'exemple més senzill d'un sistema dinàmic és un sistema d'equacions diferencials ordinàries lineals amb coeficients constans. Per exemple, siguin   i  :

 
 

del qual hom pot calcular explícitament la seva solució, mitjançant l'exponencial d'una matriu:

 

Una altra manera, suposant que la solució està restringida a l'espai de Lebesgue de camps vectorials de dimensió  ,  , és usar la seva transformada de Laplace  . En aquest cas

 

La funció matricial   s'anomena matriu resolvent de l'operador diferencial  . És meromorfa respecte al paràmetre complex   perquè els elements de la matriu són funcions racionals amb denominadors iguals a tots els  . Els pols de singularitat són els valors propis d' , l'ordre dels quals són el seu índex, és a dir,  .

NotesModifica

  1. Per la majoria d'aplicacions, podeu prendre l'anell   com el conjunt dels nombres reals o el dels nombres complexos, i el 0 i l'1 amb els seus significats habituals.

Vegeu tambéModifica