Conjectura de Poincaré

La conjectura de Poincaré (des de la seva demostració l'any 2003 coneguda també com a Teorema de Poincaré - Perelman) és, en matemàtiques, un teorema respecte a la caracterització de l'esfera de tres dimensions o 3-esfera.

Tot i que no es demostrà fins al 2003 gràcies a Grigori Perelman, com a conjectura va ser formulada per primer cop l'any 1904 per Henri Poincaré, i l'anuncià d'aquesta manera:

«	Considerant una varietat topològica compacta V de tres dimensions sense vora. És possible que el grup fonamental de V sigui trivial encara que V no sigui homeomorfa a una esfera de dimensió 3?	»
— Henri Poincaré

La qüestió, dita d'una altra manera, és saber si tota varietat de dimensió 3 tancada, simplement connexa i sense vora és homeomorfa a una 3-esfera. Si «un objecte de tres dimensions» donat té les mateixes propietats que una esfera (això és: tots els bucles es poden arrossegar i tancar en un punt), aleshores és una «deformació» d'una esfera tridimensional (l'esfera ordinària, superfície en l'espai euclidià, que només té dues dimensions).

Notem que ni l'esfera ni cap altre espai tridimensional desproveït de cap altra frontera que $\mathbb {R} ^{3}$ (l'espai ordinari) no poden ser dibuixats adequadament com objectes en l'espai ordinari de tres dimensions. És un dels motius pels quals costa visualitzar mentalment el contingut de la conjectura.

Fins a l'anunci de la seva resolució a càrrec de Grigori Perelman el 2003, la seva demostració era un dels problemes de topologia no resolts. Considerat el més important d'aquesta branca de les matemàtiques, és un dels set problemes del Premi del mil·lenni de l'Institut de matemàtiques Clay.