Continuïtat uniforme

En anàlisi matemàtica una funció es diu que és uniformement contínua si petits canvis en el valor de produeixen petits canvis en el valor de la funció (continuïtat) i la grandària dels canvis en depèn únicament de la grandària dels canvis en però no del valor de (uniforme).

DefinicióModifica

Donats dos espais mètrics   i  , i   llavors una funció   es diu uniformement contínua en   si per a qualsevol nombre real   existeix   tal que  , implica que   per a tot  .


Una funció   és uniformement contínua en un interval   si per a tot   existeix algun   tal que per a tot   es compleix que si  , llavors  .[1][2]


A diferència de la continuïtat, on el valor de   depèn del punt  , en les funcions uniformement contínues, no.

Notem que el concepte de continuïtat uniforme fa referència sempre a un conjunt de punts. Que una funció sigui uniformement contínua en un conjunt o no depèn tant de la funció com del conjunt. La funció   no és uniformement contínua a  , però sí que ho és a  .

ExemplesModifica

  • La funció   amb   és contínua però no uniformement contínua.
  • La funció   és uniformement contínua en l'interval [0,1].
  • Tot polinomi   de grau major o igual que u és uniformement continu en un interval tancat.

ResultatsModifica

  • De la definició es dedueix que tota funció uniformement contínua és contínua. El contrari (tota funció contínua és uniformement contínua) no és cert.

Exemple: Si   i  .   és contínua i no és uniformement contínua. No obstant això, es verifica que:

"Si   és un espai mètric compacte i   un espai mètric, llavors tota funció contínua   és uniformement contínua. En particular, tota funció contínua sobre un interval tancat i fitat és uniformement contínua en aquest interval." (Teorema de Heine-Cantor)

  • Si   és una successió de Cauchy continguda en el domini de   (no necessàriament convergent) i   és una funció uniformement contínua, llavors   també és una successió de Cauchy.
  • Tota funció Lipschitz contínua és uniformement contínua.

Notes i referènciesModifica

  1. Spivak, Michael. Cálculo infinitesimal. 2a edició. Reverté, 1992. ISBN 84-7739-518-7. 
  2. Perelló, Carles. Càlcul infinitesimal : amb mètodes numèrics i aplicacions (en català). Barcelona: Enciclopèdia Catalana, 1994. ISBN 84-7739-518-7.