Obre el menú principal

La convergència uniforme[1] és un concepte propi de l'anàlisi matemàtica, sobretot de l'anàlisi real, introduït per salvar les mancances de la convergència puntual en successions de funcions.

DefinicióModifica

Donada una successió de funcions  , amb  , amb Y un espai mètric amb distància d, direm que convergeix uniformement a una funció  , i ho notarem   (unif.), si es compleix:

 

És a dir, la convergència uniforme es dóna quan a partir d'un cert terme de la successió, les funcions són tan properes com vulguem en tots els punts (  s'aproxima a   per igual a tot X, uniformement); aquest detall és el que diferencia la Convergència Uniforme de Convergència Puntual.

En particular, per funcions   reals de variable real, que és el cas que desenvoluparem en aquest article, tenim:

 

Convergència uniforme de sèriesModifica

Direm que la sèrie   convergeix uniformement[1] a una funció  , si ho fa la successió corresponent de sumes parcials  , és a dir, si es compleix:

 

Criteri de CauchyModifica

El criteri de Cauchy per la convergència uniforme de successions de funcions,[1] nom que ve del matemàtic francès Augustin Louis Cauchy, ens diu que una successió de funcions   convergeix uniformement a una funció   si, i només si, a partir d'un cert terme, les imatges per dos elements de la successió qualssevol d'un punt qualsevol del domini són tan properes com vulguem; és a dir:

 

De nou, com en la definició de convergència uniforme, observem que aquí N només depèn de  , i no pas del punt del domini escollit, així que podríem resumir el criteri dient que les funcions "s'han d'acostar a tots els punts per igual, uniformement" a partir d'un cert terme.

ReferènciesModifica

  1. 1,0 1,1 1,2 Rudin, Walter.Principios de Análisis Matemático. McGraw Hill, 1980; p.157.