Derivada de Gâteaux

En matemàtiques, la derivada de Gâteaux és una generalització del concepte de derivada direccional. S'anomena així en honor a René Gateaux, un matemàtic francés que va morir jove a la Segona Guerra Mundial, es defineix per a espais vectorials topològics localment convexes, en oposició a la derivada en espais de Banach, la derivada de Fréchet. Totes dues derivades, sovint es fan servir per a formalitzar la derivada funcional que es fa servir habitualment en física, en particular en Teoria quàntica de camps. A diferència d'altres formes de derivada, la derivada de Gâteaux d'una funció pot ser no lineal.

DefinicióModifica

Suposeu que   i   són espais vectorials topològics localment convexes (per exemple, espais de Banach),   és obert, i

 

La derivada de Gâteaux   de   a   en la direcció   es defineix com

 

Si el límit existeix. Si el límit existeix per a tot  , llavors es diu que   té derivada de Gâteaux a  .

Es diu que   és contínuament derivable en   si

 

és contínua.

PropietatsModifica

Si la derivada de Gâteaux existeix, és única.

Per a cada   la derivada de Gâteaux és un operador

 

Aquest operador és homogeni, de forma que

 ,

però, en general, no és additiu, i, per tant, no sempre és lineal, a diferència de la derivada de Fréchet.

En canvi, per a X i Y espais de Banach, si se suposa que la derivada de Gâteaux dF(u, ψ) de F és contínua i lineal a ψ per a tot uU, i dF és una aplicació contínua d'espais mètrics UL(XY), llavors F és Fréchet derivable. Aquest criteri és anàleg al de derivabilitat d'una funció a partir de la continuïtat de les seves derivades parcials.

Si F és Fréchet derivable, llavors, també és Gâteaux derivable, i les seves derivades de Fréchet i de Gâteaux concorden.

ExempleModifica

Sia   l'espai de Hilbert de les funcions de quadrat integrables sobre un conjunt Lebesgue mesurable   en l'espai euclidià RN. El funcional

 

Donat per

 

on   és una funció real d'una variable real amb   i   està definit en   amb valors reals, té per derivada de Gâteaux

 

En efecte,

 
 
 

Fent   (i suposant que totes les integrals estan ben definides) dóna com a resultat per a la derivada de Gâteaux

 

És a dir, el producte interior de  

Vegeu tambéModifica

ReferènciesModifica