Derivada direccional

En matemàtiques, la derivada direccional d'una funció derivable de diverses variables al llarg d'un vector V en un punt donat P, intuïtivament, representa la raó instantània de canvi de la funció quan es passa per P resseguint la direcció de V. Això per tant generalitza la noció de derivada parcial, en la qual la direcció és sempre paral·lela a un dels eixos de coordenades.

La derivada direccional és un cas especial de la derivada de Gâteaux.

DefinicióModifica

La derivada direccional d'una funció escalar   al llarg d'un vector   és la funció definida pel límit

 

De vegades alguns autors escriuen Dv en comptes de  . Si la funció   és derivable a  , llavors la derivada direccional existeix al llarg de qualsevol vector   i es té

 

On la   de la dreta denota el gradient i   és el Producte escalar. A qualsevol punt  , la derivada direccional de  , intuïtivament, representa la raó de canvi de   al llarg de   al punt  . Normalment les direccions es prenen normalitzades, és a dir   és un vector unitari, tot i que la definició de més amunt funciona per a vectors qualssevol.[1]


PropietatsModifica

Moltes de les propietats de la derivadaordinària, també les té la derivada direccional. Entre elles hi ha, per a qualssevol parell de funcions f i g definides en un entorn de p i derivables a p:

  • La regla de la suma:  
  • La regla del producte per una constant: Per a qualsevol constant c,  
  • La regla del producte:  
  • La regla de la cadena: Si g és derivable a p i h és derivable a g(p), llavors
 

En geometria diferencialModifica

Sia M una varietat diferenciable i p un punt de M. Suposant que f sigui una funció definida en un entorn de p, i que sigui derivable a p. Si v és un vector tangent a M en p, llavors la derivada direccional de f al llarg de v, escrita indiferentment com a   (vegeu derivada covariant),   (vegeu derivada de Lie), o   (vegeu espai tangent), es pot definir tal com segueix. Sia γ : [-1,1] → M una corba derivable amb γ(0) = p i γ(0) = v. Llavors la derivada direccional es defineix per

 

Es pot demostrar que aquesta definició és independent de la tria de γ, suposant que γ se selecciona de la forma prescrita, és a dir γ'(0) = v.

Derivada normalModifica

Una derivada normal és una derivada direccional presa en la direcció normal (és a dir ortogonal) a alguna superfície en l'espai, o de forma més general, al llarg d'un camp vectorial ortogonal a alguna hipersuperfície. Vegeu per exemple la condició de frontera de Neumann. Si la direcció normal s'escriu  , llavors la derivada direccional d'una funció ƒ s'escriu de vegades  .

ReferènciesModifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Derivada direccional
  1. Vegeu Tom Apostol. Mathematical Analysis. 2a edició. Addison-Wesley, 1974, p. 344-345. ISBN 0-201-00288-4. 

Vegeu tambéModifica